книги из ГПНТБ / Варжапетян, А. Г. Готовность судовых систем управления

ГЛАВА 5

кими выходными (конечными) вершинами (пример такой системы —

через L/is некоторый путь между вершинами k и s, через U' £ U мно­ жество начальных вершин и через £/"£ U множество конечных вер­ шин.

Используя эти обозначения, введем три типа логических выклю­ чателей (операторов):

операторов, (t, s)— код дуги выключателя. Пусть при построении неко­

от Л/s тем, что она замкнута, если путь LM проходил хотя бы через

Введение «абсолютно надежных» дуг и логических выключате­ лей позволяет строить элементарные графы, которые могут соответ­ ствовать одновременно нескольким нормальным функциям алгебры логики.

В качестве примера использования введенных определений рас­ смотрим систему теплотехнического контроля с набором различных датчиков на входе, позволяющих получить на выходе основные па­ раметры (давление и температуру пара, соленость и плотность воды, расход воды и т. п.). Логический граф системы представлен на рис. 5.6.

151

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ НА ЭЦВМ

Информация поступает на входы 1—8. Коэффициенты значимости входов имеют значения:

8

S &Еі = 1 - i= l

При получении всех выходных параметров эффективность си­ стемы контроля равна 1. При выходе из строя ряда датчиков эффек­

тивность снижается. Будем считать, что наиболее важным пара­ метром является давление пара, а наименее значимым — расход воды, тогда коэффициенты значимости на выходах равны

Легко видеть, что блок-схема, представленная на рис. 5.6, пред­ ставляет собой 24-канальную систему, причем коэффициенты зна­ чимости каналов могут быть определены следующим образом:

Для дуг, показанных сплошными стрелками, заданы законы распределения отказов и восстановлений или указан номер под­ программы — в том случае, когда дугой представлена комбинация датчика с преобразователем и усилителем, обладающая структурной избыточностью.

152

ГЛАВА 5

Дуга 14— 13, изображенная утолщенной стрелкой, «абсолютно надежна». При моделировании на ЦВМ число, соответствующее дуге 14— 13, равно машинной единице. Введение этой дуги позволило

и 12— 14. Для ненагруженного же резерва (дуга 11— 12) приходится использовать специальную подпрограмму из библиотеки.

Дуги, показанные штриховыми линиями, соответствуют логи­ ческим выключателям. На рис. 5.6 представлены следующие логи­ ческие выключатели:

Рассмотренная блок-схема позволяет получать реализации слу­ чайного процесса функционирования. При оценке математического

мости вида (5.8) получение реализаций процесса RE (t) состоит в на­ хождении в момент t пути от входной вершины до той выходной вершины, коэффициент значимости которой максимален.

Таким образом, в настоящем параграфе рассмотрено несколько вариантов построения языка определений. На наш взгляд, наиболее общим методом создания языка определений является метод исполь­ зования графов, который и рассматривается ниже. Однако в сравни­ тельно простых случаях, когда превалируют параллельно-после­ довательные соединения, представление блок-схемы в виде уровней или рангов может оказаться предпочтительным. Следует под­ черкнуть, что использование подпрограмм, моделирующих пове­ дение стандартных структур, необходимо при всех трех способах. В связи с этим в следующем параграфе рассмотрим некоторые общие соображения о представлении и построении моделей и алгоритмов, реализуемых на ЦВМ.

Рассмотрим подход к моделированию системы в целом. Процесс со­ здания моделирующего алгоритма неразрывно связан с математи­ ческим описанием поведения устройства или системы, которое про­ ведено в предыдущих главах. Моделирующий алгоритм содержит в себе формализованное описание системы (в виде языка опреде­

153

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ НА ЭЦВМ

лений) и целый ряд блоков, позволяющих воспринимать внешнюю информацию и обрабатывать на основе заданных условий и правил внутреннюю информацию. Структура моделирующего алгоритма не должна содержать излишних деталей, связанных с вычислитель­ ной процедурой.

Любой моделирующий алгоритм можно в первом приближении представить в виде четырех основных блоков (рис. 5.7). Рассмотрим

в этом блоке необходимо формировать раз­ личные случайные числа, вектбры и случай­ ные процессы, обладающие заданными веро­ ятностными характеристиками, моделиро­ вать зависимые испытания, формировать корреляционные матрицы и т. д. Этот вопрос исследован в ряде книг [19, 20, 37 ] и потому в данном параграфе не рассматривается, за исключением моделирования случайной вели­ чины с комбинированным законом распреде­ ления, характерным для исследования про­ вала функции готовности (в приложении IV приведена процедура-функция для полу­

чения случайных величин с произвольными законами распределения).

ность / 2 (t) (с точностью до постоянного коэффициента нормировки).

Ниже дается вывод формулы для моделирования случайного вре­ мени исправной работы такой системы.

Функция распределения в этом случае может быть представлена

Будем предполагать, что функция распределения F (t) отказов

154

От

где у — равномерно распределенное случайное число (РРСЧ) в ин­

все связи, оговоренные языком определений, поэтому он будет подробно рассматриваться ниже.

Б л о к III осуществляет контроль и оценку точности получен­ ных результатов. В результате оценки выдается команда на прекра­ щение или продолжение процесса моделирования. Этот блок может осуществлять либо простые операции типа подсчета числа проведен­ ных испытаний при заданном заранее их количестве, либо логические операции типа рассмотренных в монографии [10]. Ввиду того что вопрос оценки точности достаточно подробно рассмотрен в указан­ ной монографии, останавливаться на нем не будем.

Б л о к IV осуществляет определение требуемых характеристик надежности или готовности. Этот вопрос достаточно подробно рас­ смотрен в ряде книг, и потому остановимся только на определении крайнего значения выборочного ряда, что при моделировании на ЦВМ представляет известную трудность.

В результате статистического моделирования получается гисто­ грамма случайных значений времени исправной работы при отсут­ ствии или наличии восстановления.

Для определения оптимального числа интервалов гистограммы может быть использовано правило Старджесса:

155

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ НА ЭЦВМ

времени исправной работы могут быть неизвестны. Теоретически для непрерывных случайных величин можно выйти из положения, используя порядковые статистики для независимых от распределе­ ния толерантных пределов. Соответствующие табличные значения приведены в [38]. На практике вместо хранения в памяти ЦВМ таблиц можно осуществить оценку толерантных пределов по вспомо­ гательной выборке. Размер этой выборки должен быть таким, чтобы последовательные значения указанных оценок стали меньше произ­ вольно заданного положительного числа.

Найдя значение п по формуле (5.17), построение гистограммы можно вести поэтапно до тех пор, пока максимальное отклонение значения эмпирической частоты на последнем этапе от значения соот­ ветствующей частоты на предшествующем этапе не станет меньше е.

Высказанные выше соображения используются при выборе вели­ чины интервала 1 0 , Т 1 в процессе получения полной гистограммы.

Однако в том случае, когда оговорен интервал, в течение которого определяется работоспособность системы, число п определяется непо­ средственно из (5.17). В приложении V приведена процедура полу­ чения гистограммы и среднего времени безотказной работы си­ стемы # г.

Возможны два вида представления моделирующего алгоритма: операторный и с помощью блок-схемы. Первый вид весьма подробно изложен Н. П. Бусленко [9], второй вид рассмотрен рядом авторов [10, 20, 38]. Представление алгоритма в виде блок-схемы, несмотря на некоторую громоздкость, более наглядно и информативно. Поэ­ тому будем в дальнейшем использовать именно его, причем будем рассматривать два типа моделирующих алгоритмов:

1 ) моделирующие алгоритмы простых (стандратных) структур •—

П-алгоритмы; 2) моделирующие алгоритмы сложных структур — С-алгоритмы.

Основываясь на приведенных выше соображениях относительно формализации описания процесса функционирования системы с по­ мощью языка определений, можно показать, что в большинстве слу­ чаев сложная система может быть представлена с помощью одного из трех рассмотренных способов описания, причем большинство частей получаемой структуры может быть описано моделирующими алгоритмами типа П. Поэтому целесообразно собрать П-алгоритмы в виде библиотеки стандартных подпрограмм (БСП). Следует, однако, подчеркнуть, что ряд систем в силу сложности их связей со средой и наличия адаптации трудно описать набором стандартных П-алго- ритмов, но и в этом случае БСП достаточно полезна для оценки харак­ теристик надежности отдельных звеньев в заданные моменты времени.

Для пояснения идеи построения моделирующего П-алгоритма рассмотрим основное соединение. Хотя этот случай достаточно три­ виален, однако при наличии в системе разнородных элементов, потоки отказов которых отличны от простейшего, аналитическое решение

•156

ГЛАВА 5

становится достаточно сложным и применение ЦВМ вполне оправ­ дано.

Стохастический оператор определения случайного времени исправ­

где £, ■— случайное время исправной работы £-го прибора (элемента), причем Ц могут иметь различные законы распределения.

На рис. 5.8 приведена блок-схема моделирующего алгоритма. Оператор 1 осуществляет формирование РРСЧ по одному из

известных способов.

Оператор 2 преобразует РРСЧ в случайные времена исправной работы по заданному закону распределения (см. приложение V)'.

Оператор 3 осуществляет логическую операцию по проверке

157

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ НА ЭЦВМ

При соблюдении неравенства (5.19) управление передается опе­ ратору /, при нарушении — оператору 4.

Оператор 4 определяет min tt среди переданной совокупности п чисел.

Оператор 5 оценивает выполнение заданной точности и через ло­ гический оператор 6 выдает оператору 1 сигнал перехода к (і + 1 )-му

испытанию в случае невыполнения заданной точности е, оцени­

тх — искомое значение математического ожидания времени исправ­ ной работы. В случае достижения заданной точности е оператор 6 передает управление оператору 7.

Оператор 7 производит текущую обработку данных и передает оператору 5 для сравнения.

Оператор 8 осуществляет выдачу полученных данных. Процедура для рассматриваемого случая основного соединения

оказывается весьма простой. Задавая на входе параметры потоков отказов и количество устройств, на выходе получим Тс.

При наличии избыточности в системе, представляемой в виде графа, необходимо отыскивать все пути в графе, проверять их связ­ ность и сравнивать с заданным интервалом [О, Т ]. Для этой цели разработана процедура ^ — процедура отыскания всех путей в графе, приведенная в приложении VI. В приложениях VII и VIII приве­ дены процедуры получения характеристик надежности восстанавли­ ваемых систем по реализациям альтернирующей последовательности для нестационарного периода (аРн п) и для установившихся значе­ ний (jfy).

Прежде чем перейти к непосредственному рассмотрению моделирую­ щих алгоритмов восстанавливаемых систем, необходимо остано­ виться на одном из важнейших вопросов моделирования систем — вопросе ускорения процесса моделирования. Этот вопрос стоит весьма остро из-за недостаточного быстродействия ЦВМ и длитель­ ного времени одной реализации в случае сложных систем. Если пове­ дение высоконадежных систем рассматривается на ограниченном интервале времени, то появляется много «пустых реализаций», т. е. таких реализаций, в которых не зафиксирован отказ. Для получения необходимой точности при этом приходится увеличивать число реа­ лизаций, что приводит к увеличению времени моделирования.

В связи со сказанным ускорение процесса моделирования в слу­ чае многозначных восстанавливаемых систем приобретает перво­ степенное значение.

158

ГЛАВА 5

Впервые актуальность этого вопроса отмечена в статье [36], где предлагается комбинировать моделирование и аналитический расчет, причем моделирование рекомендуется использовать для учета членов, увеличивающих значение характеристик надежности вследствие наличия избыточности. В статье [31] предлагается объединять эле­ менты одного типа в группы, имеющие приблизительно одинаковые интенсивности отказов. Однако погрешности при выборе групп, а также трудности выяснения последствий отказа элемента в группе сужают область применения этого метода.

Рассмотрим способы ускорения процесса моделирования, сво­ бодные от указанных недостатков [1 2 ].

П е р в ы й с п о с о б . Предположим, что исследуется надеж­ ность системы, состоящей из п блоков. Для каждого блока заданы законы распределения времени исправной работы и восстановления. Работа системы рассматривается на интервале [О, Т ]. На основании имеющихся данных можно получить числа р ъ р 2, . . ., рп — ве­ роятности исправной работы блоков за время Т. Образуем новую случайную величину /п;(р,) — номер реализации, в которой отказы­ вает і-й элемент. Величина /иДрг) имеет геометрическое распределение

Для моделирования величины /и,- выберем согласно общей схеме

Таким образом, вместо моделирования случайных времен исправ­ ной работы блоков в каждой реализации подсчитываются по фор­ муле (5.23) случайные номера реализаций т,(р (-), в которых эти блоки отказывают в интервале [0, Г]. Иными словами, в этих реа­ лизациях для отказавших блоков надо использовать случайные вре­ мена исправной работы, распределенные по усеченному закону.

159

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ НА ЭЦВМ

Например, для экспоненциального распределения при условии отказа в интервале [О, Т ] можно легко получить

в табл. 5.2. Из таблицы видно, что даже в этом простейшем случае время на моделирование сокращается более чем на порядок.

160