книги из ГПНТБ / Варжапетян, А. Г. Готовность судовых систем управления

31

ГЛАВА 1

Таким образом, функция готовности на промежутке в устано­ вившемся режиме равна произведению вероятности того, что система будет исправна в начале этого промежутка, на вероятность безот­ казной работы ее в течение времени s.

Полезно иметь формулы для Г (s), выраженные через параметры различных законов распределения времени безотказной работы системы.

Э к с п о н е н ц и а л ь н ы й з а к о н. При экспоненциальном законе распределения времени возникновения отказов вероятность безотказной работы Р (t) и среднее время безотказной работы Тср выражаются через интенсивность отказов к зависимостями Р (/) =

- е ~%т, Т ср = -j-, Следовательно, из (1.53) получаем

СО

После замены переменной в интеграле правой части данного выра­

О

1— Ф 0]/2

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

систем путем непосредственного интегрирования системы дифферен­ циальных уравнений сопряжено со значительными трудностями. В связи с этим осуществляют переход из временной области в ком­ плексную, что позволяет перейти от системы дифференциальных урав­ нений к системе алгебраических уравнений относительно изображе­ ний по Лапласу вероятностей состояний. Решение получают в форме дробно-рациональной функции. В § 2.2, не прибегая к изложению общей теории марковских случайных процессов, проиллюстрируем на частном примере применение аппарата марковских цепей для анализа функции готовности.

Наряду с этой, ставшей уже традиционной схемой анализа на­ дежности в последнее время предложены модификации, направленные на упрощение процедуры расчета. Так, в [34] приводится методика, позволяющая избежать этапа составления дифференциальных урав­ нений. Основные идеи этой методики изложены в § 2.6. Вместо составляемой обычно матрицы рассматривается граф множества со­ стояний системы, по которому непосредственно записывается выра­ жение в изображениях по Лапласу для нужного показателя надеж­ ности. При постоянных значениях интенсивностей отказов и восста­ новлений методика позволяет весьма просто вычислять вероятности пребывания системы в состоянии готовности к действию.

Основанные на применении аппарата теории массового обслужи­ вания методы анализа надежности сложных восстанавливаемых си­ стем являются достаточно эффективными в тех случаях, когда время безотказной работы компонентов системы и время их восстановления распределены по экспоненциальному закону. Если эти распределе­ ния не допускают аппроксимации экспоненциальным распределе­ нием, а также если процесс отказов и восстановлений не является марковским, то функция готовности и эквивалентные ей характери­ стики могут быть получены путем применения статистического [30] или используемого в § 1.3 вероятностного подхода, или, наконец, с помощью теории восстановления в виде интегральных выражений типа (1.32). При этом в случае количественной оценки готовности возникает необходимость решения интегральных уравнений со слож­ ными разностными ядрами, зависящими от плотности распределения отказов и восстановлений. Наиболее распространенными методами решения указанных уравнений являются метод последовательных приближений, операционный метод и численные методы. С помощью первых двух можно получить решение лишь для ограниченного класса распределений. Численные методы являются в этом смысле универсальными. В данной главе рассматриваются некоторые аспекты решения уравнений типа (1.32) всеми перечисленными методами. Особое внимание уделяется использованию операционного исчисле­ ния, так как оно позволяет решить многие задачи надежности судо­ вых систем управления.

Следует отметить, что как в случае интегральной формы пред­ ставления характеристик надежности, так и при использовании аппа­

36

ГЛАВА 2

рата марковских цепей функцию готовности для нестационарного режима можно находить с помощью аналоговых вычислительных машин (АВМ). При этом использование АВМ удобно на этапе, когда функция готовности представлена в виде дробно-рационального вы­ ражения относительно комплексной переменной р. АВМ позволяют путем моделирования передаточной функции сравнительно просто получать решение во временной области. Кроме того, как известно, аналоговые вычислительные машины могут быть применены для решения чисто вычислительных задач, в том числе интегральных уравнений вида (1.21). В § 2.7 и 2.8 излагаются некоторые вопросы оценки готовности восстанавливаемых систем на аналоговых вы­ числительных машинах.

СЛУЧАЙНЫ Х ПРОЦЕССОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Как уже отмечалось выше, для описания и анализа процессов воаникновения и устранения отказов элементов системы судовой авто­ матики, профилактического обслуживания их как в условиях пла­ вания, так и при нахождении в ремонтных базах весьма плодотвор­ ными являются методы теории массового обслуживания. В частности, эти методы позволяют просто получить функцию готовности системы достаточно сложной структуры, например резервированной системы в случае установившегося режима ее работы при различных стра­ тегиях технического обслуживания.

Время функционирования восстанавливаемой системы можно представить как последовательность чередующихся периодов исправ­ ного состояния и восстановления. Продолжительность каждого из этих периодов является функцией соответственно интенсивности отказов X (/) и восстановлений р (t). Задача заключается в опреде­ лении вероятности исправного состояния системы в произвольный момент времени ££ (0, оо). Данная модель может быть интерпретц: рована как простейший вариант системы массового обслуживания,- на вход которой поступает поток требований с заданной интенсив­ ностью X (t), а обслуживание осуществляется с интенсивностью р {t), В произвольный момент времени система может находиться с вероят­ ностью Р о (t) в исправном состоянии и с вероятностью Р х (t) в со­ стоянии восстановления. Так как этими двумя состояниями пол­ ностью исчерпывается поведение системы, то Р 0 (t) + Р г (t) = 1 .

Определение функции готовности эквивалентно определению значе­ ния P Q(t).

Реальная система, как правило, имеет значительно более слож^ ную структуру, и ее поведение не ограничивается описанной выше моделью. Поэтому задача должна быть сформулирована для более общего случая. Поведение системы задается на счетном множестве U

37

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

состояний, каждое из которых характеризуется вероятностной оцен­ кой Р; (L — 1, 2, . . п), где п — количество элементов множества U,

причем Р (U) = P I — 1- Состоянию готовности соответствует не-

І

которое подмножество состояний А а U, при которых система спо­ собна выполнять свои функции, т. е.

т

Г (t) = ^ P i = P ( A ) .

І=\

Задача состоит в том, чтобы сформулировать множество состояний U я А я определить Р (А).

Следует заметить, что большинство потоков событий, изучаемых в теории надежности, с приемлемыми для практики допущениями

чительно упрощается и сводится к применению математического аппарата непрерывного во времени и дискретного в пространстве простого марковского процесса. Использование данного аппарата проиллюстрируем на примере определения функции готовности системы с двумя видами отказов.

Примером такой системы может служить электронная аппаратура судовой автоматики. Если отказы аппаратуры в результате износа и старения отсутствуют, то в условиях плавания могут иметь место лишь внезапные отказы, вызванные, с одной стороны, различного рода случайными электрическими перегрузками, а с другой стороны — механическими воздействиями типа вибраций. Будем считать, что эти отказы подчинены экспоненциальному закону распределения с раз­ личными параметрами. Такое же предположение примем и по отно­ шению к распределению времени восстановления.

Итак, имеем два вида независимых отказов. Распределение вре­ мени безотказной работы является экспоненциальным с парамет­ рами Я.! и Х2- Интенсивности восстановлений обозначим через и |д2Данная схема, как уже отмечалось выше, может быть интерпре­

тирована как простая марковская цепь с тремя состояниями. Опре­ делим состояние 0 как состояние, при котором отсутствуют отказы обоих типов, а состояния 1 и 2 как состояния, в которых имеют

место отказы соответственно первого и второго типов. Составим матрицу интенсивностей переходов системы из одного состояния в другое. Отметим сначала, что вероятности переходов из состоя­ ния 0 в состояния 1 или 2 за малый промежуток времени Дt равны соответственно Я,ХДt и ЯгДt. Вероятности обратных переходов из со­ стояния 1 или 2 в состояние 0 равны щ Д і и [х2ДД Вероятность того, что система, находясь в состоянии 0, в течение времени At останется

38

ГЛАВА 2

отказов первого и второго типов примем равной нулю. С учетом этих замечаний матрица вероятностей переходов будет иметь вид

Обозначим вероятности нахождения системы в состояниях 0, 1

и2 соответственно через P 0 {t), Р х (I) и Р 2 (t).

Используя теоремы о сложении и умножении вероятностей, составим на основании матрицы (2 .1 ) систему конечно-разностных

уравнений, описывающих поведение рассматриваемой системы:

Предельный переход At —>0 с учетом определения производной дает возможность получить систему дифференциальных уравнений

ее включения. Решение системы (2.2) удобно выполнить с помощью

39

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Предельное значение функции (2.4) при і - >оо является коэф­ фициентом готовности системы

Если определению подлежит лишь установившееся значение функции, то зависимость (2.5) можно получить более простым путем, учитывая, что рассматриваемый процесс является эргодическнм. В установившемся режиме при t —>оо справедливы соотношения

Po(t) = Pa; Pi(t)=Pi\ P2(t) = Pü P6 (t)= P t(t) = Pi(t) = 0.

При этом система (2.2) с учетом свойства эргодичности принимаетвид

откуда непосредственно следует (2.5).

Ввиду наличия обширной литературы по рассматриваемому

'Так как интегральное уравнение средней частоты отказов с учетом восстановления (1.29) и выражение функции готовности (1.35) со­ держат интеграл типа свертки, для их решения удобно использовать метод операционного исчисления, обеспечивающий переход от урав­ нений относительно функции действительного переменного к алге­ браическим уравнениям относительно изображения по Лапласу этой функции.

При практическом использовании операционного метода встре­ чаются трудности, связанные с нахождением изображения по Лап­ ласу плотности вероятности отказа a (t) и плотности распределения времени восстановления г (1) при различных законах их распреде­

ления, а также с применением теоремы обращения.

В табл. 2.1 приводится набор часто встречающихся в теории надежности функций и их изображений по Лапласу.

Выражение для средней частоты отказов с учетом восстановле­ ния, представляющее собой решение уравнения (1.29) в операторной форме, было приведено выше [см. (1.44)]. В случае, когда функ-

40