книги из ГПНТБ / Варжапетян, А. Г. Готовность судовых систем управления

ГЛАВА 4

ной работы и необходимой оперативной памяти. При решении за­ дачи определения оптимальной структуры резервированной системы по методу Кеттела точное решение может быть получено для систем, состоящих не более чем из 20 элементов, при пятикратном увеличении лимитирующего параметра по сравнению с его значением, соответ­ ствующим основному соединению. Существенным препятствием для решения этой задачи при большом числе элементов системы является быстрый рост длины (т. е. числа членов) оптимальной последователь­ ности I с увеличением числа элементов в системе п, что может быть проиллюстрировано данными, приведенными в табл. 4.16.

121

Сокращение длин оптимальных последовательностей в результате использования специальных приемов, описанных в [2, 13, 32, 35], рассмотрено в § 4.5.

от нескольких факторов: значения лимитирующего параметра, ха­ рактеристик элементов системы, а также порядка объединения под­ систем при решении задачи.

Очевидно, что при увеличении лимитирующего параметра длина оптимальной последовательности будет увеличиваться.

Вычислительные трудности возникают при объединении условных подсистем, если хотя бы одна из них уже представляет собой объеди­ нение нескольких подсистем. Чем больше подсистем объединено в условную подсистему, тем меньше «расстояние по стоимости» между двумя соседними членами оптимальной последовательности. Уменьшение этого расстояния приведет к тому, что при составлении оптимальной последовательности для последующей композиции под­ систем в одном и том же диапазоне значений суммарной стоимости резервных элементов придется производить все большее количество вычислений. Для того чтобы уменьшить объем вычислений, можно воспользоваться приемом «принудительного склеивания» [32]. При практических расчетах можно ввести ограничение, которое будет способствовать уменьшению длины оптимальной последовательности.

Пусть нами получена некоторая оптимальная последовательность векторов системы (под вектором понимается совокупность характе­ ризующих систему значений kn и с), в которой имеются два вектора

тать допустимой погрешность е*п, превосходящую Akn, то очевидно,

что векторы Ѵ х и Ѵ2 при анализе будут различаться лишь по значе­

ниям суммарной стоимости. Однако в таком случае в оптимальной последовательности вектор Ѵ 2 уже не должен присутствовать, так

122

ГЛАВА 4

как он при практически том же показателе надежности характери­ зуется большим значением суммарной стоимости. Подобный способ уменьшения количества членов оптимальной последовательности был впервые предложен Прошаном и Бреем и описан в [32]. Если при использовании этого способа оптимальная последовательность остается все же слишком длинной, можно либо увеличить допустимую погрешность е* , либо ввести дополнительные допустимые погреш­ ности ес по стоимости. Подобное увеличение допустимых погреш­ ностей продолжается до тех пор, пока не будет найдено искомое ре­ шение.

Другим описанным в [32] способом уменьшения длины оптималь­ ных последовательностей является использование наибольших на­ чальных значений коэффициента готовности и стоимости, какие только можно подыскать. При составлении оптимальной последова­ тельности будем добавлять по одному элементу каждого типа до тех пор, пока, наконец, при добавлении очередного элемента не произой­ дет нарушение ограничения по стоимости. Выгодность использования данного способа видна на примере, который приводят Прошан и Брей: при решении одной из задач для системы, состоящей из 10 под­ систем, при трех ограничениях длина оптимальной последователь­ ности, полученной от начала вычислений до момента нарушения одного из ограничений, уменьшилась с 334 до 62 членов.

Можно показать, что длины оптимальных последовательностей существенным образом зависят от порядка объединения отдельных подсистем. Как известно, алгоритм Кеттела предполагает на каждом последовательном этапе процесса попарное объединение отдельных подсистем или группы подсистем в некоторые новые комбинирован­ ные подсистемы. В [32] утверждается, что если показатель ненадеж­ ности каждой подсистемы убывает экспоненциально по мере увели­ чения затрат, то убывание ненадежности всей системы при правиль­ ном распределении затрат на подсистемы подчиняется тому же за­ кону. Используя это утверждение, можно показать, что если для первоначального объединения выбирать подсистемы, для которых экспоненциальная зависимость между ненадежностью и стоимостью наиболее близка к аналогичной зависимости для всей системы, то длины оптимальных последовательностей будут минимальными. Покажем это.

Пусть дана система из ѣ последовательно соединенных элементов. Необходимо повысить надежность этой системы, используя поэлемент­ ное резервирование. Для этой цели отпущены средства с0Гр. Отдель­

где kniQ— коэффициент простоя i-й подсистемы; ci0 — стоимость, Обеспечивающая заданный уровень надежности ('-й подсистемы.

123

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ готовности

После резервирования подсистемы будут иметь следующие ха­ рактеристики:

Здесь от,- — количество элементов в резервированной группе.

Так как стоимости с(- для всех подсистем ограничены величиной сог„, то наклон экспоненты будет характеризоваться коэффициентом ß. Поскольку ті — целое число, а сі 0 = const, то с,- принимает дискрет­

ные значения и функция kni = f (с£) также дискретна. Эту функцию можно аппроксимировать экспонентой, если предположить, что с(. меняется непрерывно от с10 до согр.

При таком же предположении можно аппроксимировать экспо­ нентами все оптимальные последовательности, являющиеся ступен­ чатыми функциями. Наклон экспоненты, аппроксимирующей ре­ зультирующую оптимальную последовательность, будет меньше, чем наклон любой предшествующей экспоненты. Если первоначально объединять те подсистемы, аппроксимирующие экспоненты для которых наиболее близки к экспоненте результирующей оптималь­ ной последовательности, то экспонента первой промежуточной опти­ мальной последовательности будет также наиболее близка к экспо­ ненте результирующей последовательности. Поскольку ограничения вводятся по обеим осям'координат, то и область поиска в этом слу­ чае будет меньше, чем при введении ограничения по одной оси. Так как экспоненты характеризуются коэффициентом .ß, то порядок объединения подсистем можно устанавливать в зависимости от зна­ чения ß. Коэффициент ß есть число отрицательное, и поэтому в пер­ вую пару следует выбирать подсистемы с наименьшим его модулем. Следующую пару должны составлять результат объединения пре­ дыдущей пары и подсистема с наименьшим по модулю коэффициен­ том ß. и т. д.

.124

ГЛАВА 4

Если применение описанных выше методов не приведет к суще­ ственному сокращению длины оптимальной последовательности, то можно воспользоваться методом испытаний членов оптимальной последовательности с прогнозированием на несколько шагов вперед.

Вэтом алгоритме процедура выбора членов оптимальной последова­ тельности сохраняется, но на каждом шаге процесса перед включе­ нием в оптимальную последовательность член подвергается проверке на возможность его использования в последующих оптимальных по­ следовательностях с учетом оставшихся элементов системы. Если хотя бы одна комбинация проверяемого члена с членами, относящи­ мися к оставшимся элементам системы, по своим параметрам (показа­ тель надежности и стоимость) не нарушает ограничений на каждом из всех оставшихся (или заданном количестве) этапов решения, то этот член запоминается и участвует в решении на следующем этапе.

Впротивном случае он не запоминается, а лишь используется для определения следующего члена оптимальной последовательности. Такая проверка производится со всеми членами каждой оптималь­ ной последовательности.

Вкачестве иллюстрации метода рассмотрим приведенный в [10] пример системы, состоящей из четырех последовательно соединенных подсистем. Рассмотрение начнем с системы, для которой требуемое значение коэффициента готовности равно 0,99, а фактическое его значение 0,31. В табл. 4.17 приведены данные, необходимые для реше­ ния задачи. В последнем столбце указано число устройств внутри каждой подсистемы, которое позволяет получить требуемую вели­ чину коэффициента готовности подсистемы, равную 0,99. Однако даже если все четыре подсистемы будут иметь коэффициент готов­ ности, равный 0,99, то и тогда коэффициент готовности системы будет равен (0,99) 4 = 0,96. Поэтому значения, указанные в последнем

столбце, являются лишь исходными для расчета требуемого значения коэффициента готовности системы, равного 0,99.

Число резервных элементов т г, необходимых для каждой под­ системы, вычисляется с помощью формулы

т1 - l g ( l - f t r )

Ig(l — Arf) ’

.125

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ готовности

Будем считать, что в каждой подсистеме для повышения надеж­ ности используется нагруженный резерв, т. е. для коэффициента готовности і-й подсистемы будем иметь

kt-с — I — ( 1 - Q m,

где k'rj — коэффициент готовности /-го элемента і-й подсистемы. Алгоритм решения заключается в следующем. Сначала подсистемы

группируются в пары следующим образом:

Для первой пары подсистем составляется матрица, в верхней строке которой проставляются числовые значения стоимости и коэффициента простоя, получающиеся в результате увеличения кратности резер­ вирования в первой подсистеме. Аналогичным образом вычисляется левый боковой столбец матрицы, характеризующий вторую подси­ стему. Стоимость сц и коэффициент простоя кпц, полученные в ре­ зультате объединения членов і-й строки бокового столбца и /-го столбца верхней строки, соответственно равны

где с2і и kn2i — характеристики второй подсистемы; с1;- и knll-— характеристики первой подсистемы.

Т а б л и ц а 4.18

Получение членов промежуточной оптимальной последовательности

126

Матрица, вычисленная в соответствии с этими правилами, пред­ ставлена табл. 4.18. Начинаем вычислять оптимальную последова­

тельность. Первый член ее равен { 0 ,2 о97}. В соответствии с алго­

ритмом проверки записываем этот член в боковой столбец второй матрицы (табл. 4.19) и последовательно проверяем все комбинации этого члена с членами последовательности, относящимися к третьей подсистеме, записанными в верхней строке. Характеристики комби­ наций вычисляются таким же образом, как и у членов оптимальной последовательности:

СЧ= сз/ “Ь с,,

К ч = Кг, + Кі-

Здесь / = 1, 2, . . . — номера членов оптимальной последователь­ ности; с, и knl — характеристики проверяемого члена; с3,- и kn3j — характеристики третьей подсистемы.

При проверке должны выполняться условия:

0 ,0 01 1

28

127

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ готовности

Первая, вторая и третья комбинации не удовлетворяют первому

условию. Четвертая комбинация { ° ’°2 9 76} удовлетворяет обоим

условиям. Эту комбинацию заносим в левый боковой столбец сле­ дующей матрицы (табл. 4.20) и повторяем процесс проверки. Четвер­ тая и пятая комбинации в этой матрице удовлетворяют обоим ука-

в качестве первого члена оптимальной последовательности.

Т а б л и ц а 4.20

[ . . .

В первой матрице (см. табл. 4.18) по алгоритму Кеттела определяем следующий член оптимальной последовательности. Подвергаем его аналогичной проверке. Дальнейшее рассмотрение членов оптималь-

с членами, относящимися к третьей и четвертой подсистемам, не удовлетворяет условиям (4.33) и, значит, этот член не должен быть занесен в оптимальную последовательность. Для оставшегося члена

Г Г } тем более не будут удовлетворяться условия (4.33), и он

также не заносится в оптимальную последовательность.

Такая проверка членов проводится в каждой оптимальной по­ следовательности, что дает существенное сокращение их длин, за­ висящее от глубины проверки, т. е. от того, на сколько матриц вперед идет проверка. При увеличении глубины проверки сокращение увеличивается, но растет и время, необходимое для решения задачи.

В табл. 4.21 приведена сравнительная характеристикарешения задач по алгоритму Кеттела с осуществлением проверки и без нее при различных значениях глубины проверки s.

128

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ готовности

Выбор оптимального числа контролируемых параметров может про­ водиться с помощью процедуры отыскания экстремума целевой функ­ ции при нескольких ограничениях.

Воспользуемся информационным критерием объективности кон­ троля, под которым будем понимать отношение количества инфор­ мации / к, приобретенной при контроле определенного числа пара­ метров п, к энтропии системы # 0:

делим его как произведение критерия объективности контроля на вероятность безотказной работы автоматической системы контроля Р:

Для решения поставленной задачи необходимо максимизировать функцию D при заданных ограничениях на время проведения кон­ троля /к, на стоимость системы контроля С, на ее вес G и т. д.

Обозначим через Я. интенсивность отказов части автоматической системы контроля, необходимой для контроля t-го параметра. При этом рассмотрим два режима работы автоматической системы кон­ троля:

1 ) все части системы работают непрерывно в течение всего вре­

мени контроля; 2 ) отдельные части системы включаются только на время кон­

троля определенного параметра.

Введем переменные xt таким образом, что xt — 1, если і-й пара­

130