книги из ГПНТБ / Варжапетян, А. Г. Готовность судовых систем управления

ГЛАВА 2 •

Та б л и ц а 2 . 1

Таблица изображений по Лапласу некоторых функций

ция Ир (t) задана, это выражение можно рассматривать как уравне­ ние в операторной форме относительно частоты отказов:

Запишем в операторном виде соотношение для нахождения функ­ ции готовности. Применив операторную форму записи к равенству (1.35), получим

Г (р) = Р (р) + Пр (р) Р (р) R (Р)

или с учетом соотношения (1.44)

Запишем данное выражение в другой форме.

Изображение вероятности безотказной работы может быть по­ лучено в виде

41

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Подставляя значение Р (р) в (2.7), получаем

Соотношения (2.7) и (2.9) позволяют путем применения обратного преобразования Лапласа найти начальную функцию Г (t).

Если время восстановления постоянно, т. е. средняя частота отказов с учетом восстановления определяется интегральным уравне­ нием (1.27), операторная форма решения этого уравнения имеет вид

A(ß)

(Р) — 1- А ( р - Т а) •

Применив к величине А (р — Та) теорему смещения, будем иметь

Ор(р) = -------(2.10)

1- А (р) е р в

При этих же условиях, применяя к соотношению (1.33) преобразо­ вание Лапласа и учитывая выражения (2.9) и (2.10), получаем опе­ раторное выражение для функции готовности

р( 1— А (р) е ~ рТ») '

Использование метода проиллюстрируем на примере определе­ ния средней частоты отказов с учетом восстановления и функции готовности в случае распределения длительности безотказной работы по закону суперпозиции двух экспонент при экспоненциальном вос­ становлении. Решим сначала интегральное уравнение (1.29).

Плотность вероятности отказов для закона суперпозиции двух экспонент задается формулой

Вероятность безотказной работы при этом равна

Плотность распределения времени восстановления имеет вид

С учетом изображений по Лапласу выражений (2.12) и (2.15) равенство (1.44) перепишется как

42

ГЛАВА 2

После преобразований последнее равенство приобретает вид

Правая часть выражения (2.16) представляет собой дробнорациональную функцию вида

задача обращения для которой решается просто. Если степень мно­ гочлена А (р) не превосходит степени многочлена В (р) и В (р) имеет простые отличные от нуля корни рь, то оригинал выражения (2.17)

равен

I

k = l

где сумма берется по всем корням многочлена В (р). На основании данной формулы из соотношения (2.16) получаем решение для сред­ ней частоты отказов с учетом восстановления:

Из (2.19) можно получить предельное значение функции сор (t) для рассматриваемых законов распределения времени безотказной работы и восстановления:

Но так как

43

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

В случае закона суперпозиции п экспонент, когда плотность распределения времени безотказной работы задается выражением

П

1 = 1

имеем

Выражение для функции готовности получим с помощью соот­ ношения (2.9). С учетом выражений (2.12) и (2.15) изображение

44

ГЛАВА 2

Используя формулу (2.18), получаем искомое решение

При экспоненциальном распределении времени безотказной ра­

х + т

45

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Следует заметить, что на практике с экспоненциальным законом распределения приходится встречаться чаще, чем с другими. Это объясняется тем, что закон распределения интервалов между соседними событиями в потоке редких случайных событии, состав­ ленном из многих независимых потоков с любыми характеристи­ ками, теоретически сходится к экспоненциальному, если слагаемых потоков много и каждый из них в отдельности оказывает слабое влияние на суммарный поток. Подобную модель представляет слож­ ная техническая система, состоящая из разнообразных элементов. Практически экспоненциальный закон можно считать справедливым на участке установившегося режима работы аппаратуры.

Для рассматриваемых законов распределения времени безотказ- ■ ной работы и времени восстановления получим выражение функции готовности на промежутке Г (t, s).

Напомним, что промежуток времени s, в течение которого оцени­ вается готовность системы, является величиной постоянной.

В операторной форме записи функция готовности на промежутке может быть представлена на основании (1.41) и (2.7) в виде

Г ( р , s ) = P ( p , s ) i _ A l U ( p y

С учетом соотношений (2.12), (2.15) и (2.28) получаем

’И(^-1С2 4" 72Сі ) 4" 7з4-2

46

ГЛАВА 2

В установившемся режиме работы системы при t —>оо из (2.29) имеем

S i. р—Яis J_ Si.

Предельное значение функции готовности на промежутке в этом случае равно произведению коэффициента готовности на вероят­ ность безотказной работы системы в течение времени s:

Операционный метод позволяет так же просто решить уравне­ ние готовности (1.35) в случае распределения длительности безотказ­ ной работы по закону гамма-распределения при целом значении параметра k и экспоненциальном распределении времени восста­ новлений. С учетом того, что изображение по Лапласу плотности гамма-распределения равно (см. табл. 1.3 и 2.1)

Ао

А{р)

Известно [33], что гамма-распределение описывает закон распре­ деления безотказной работы резервированной системы при ненагруженном резерве и при условии, что для основной и резервных систем справедлив экспоненциальный закон распределения времени без­ отказной работы. Следовательно, соотношение (2.33) может быть использовано для расчета функции готовности резервированных систем при указанном выше типе резервирования.

Пример 2.1. Требуется определить вероятность того, что через 50 ч работы пункт радиосвязи судна, состоящий из двух приемопередатчиков, один из которых находится в ненагруженном резерве, будет готов к действию, если интенсивность отказов основного и резервного приемопередатчиков равна X = 0 ,0 2 ч_1, а интенсив­ ность восстановления р = 0 ,2 ч-1 .

47

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Для решения воспользуемся соотношением (2.33), приняв /е = 2. Используя обратное преобразование Лапласа, из выражения (2.33) получаем

Отсюда после подстановки значении интенсивностей находим искомое значение вероятности пребывания пункта радиосвязи в состоянии готовности Г (50)= 0,8841.

МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Для расчета функции готовности, заданной в интегральной форме (1.35), необходимо знать среднюю частоту отказов с учетом восста­ новления сор (t), вероятность безотказной работы Р (t) и плотность распределения времени восстановления г (t). В качестве исходных могут быть заданы либо функции юр (t) и г (t), либо функции а (/) и г (t). В первом случае по известным ©р (і) и г (t) можно из инте­ грального уравнения (1.29) определить функцию а (t), а по ней Р (t), во втором случае по а (t) и г (£) определяются необходимые для рас­ чета функции готовности Шр (/) и Р (t). При этом нередко возникает необходимость решения интегральных уравнений вида (1.29).

Наряду с уже рассмотренными выше методами решения инте­ гральных уравнений в отдельных случаях можно использовать метод последовательных приближений.

Решение интегрального уравнения вида (1.29) при использова­ нии метода последовательных приближений получается как резуль­ тат равномерной сходимости последовательности функций {сор„ (()[, образуемых по правилу:

®Ро( 0 = «(0 ;

о

< Ѵ ( 0 = а {I) + J Сйр„_1 (г ) к (і, Т) d x .

о

48

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

где о)р (t) — точное решение уравнения (1.29), А и с — постоянные, определяемые неравенствами

ІЖ*. т ) |< с , I®р(I) — а (/) 1 =£Д

для всех моментов времени t > 0 , принадлежащих конечному про­

межутку.

При более сложных ядрах процесс решения значительно услож­ няется, что и ограничивает возможности метода.

Операционный метод, а также метод последовательных приближе­ ний обеспечивают, как отмечалось ранее, вычисление функции готовности, заданной выражениями (1.35) и (1.41), или средней частоты отказов с учетом восстановления лишь для ограниченного класса законов распределения времени безотказной работы и вре­ мени восстановления систем. В большинстве случаев в силу слож­ ности этих законов аналитическое решение выражений (1.29), (1.35), (1.41) в удобном для практики виде получить либо чрезвычайно трудно, либо вообще невозможно и приходится использовать при­ ближенные, чаще всего численные методы. При этом функция готов­ ности вычисляется в конечном множестве точек временного интер­ вала, на котором исследуется надежность системы. Полученная таким образом последовательность значений функции готовности {Г„} является аппроксимацией функции Г (t).

Для определения элементов последовательности )ГЯ) необхо­ димо найти значения средней частоты отказов с учетом восстановле­ ния в точках вычисления функции готовности. Эти значения могут

50