книги из ГПНТБ / Варжапетян, А. Г. Готовность судовых систем управления

ГЛАВА 2

Соотношения (2.75) связывают коэффициенты числителя и зна­ менателя в формуле (2.74) с первыми п значениями функции / ЦТ), j = О, 1, 2, . . . С помощью этих соотношений легко вычислить коэффициенты числителя, если известны коэффициенты знаменателя.

Равенства (2.77) перепишем в виде

Для общего случая, когда число строк равно т, эти равенства можно записать в матричной форме:

Матрица коэффициентов состоит из т строк и п столбцов. Если ограничиться первыми п строками, получим матрицу размером пХ т , что приведет к системе из п уравнений с п неизвестными величинами

рая будет совпадать с заданной функцией /* (t) в п точках t = О,

Т, . . ., пТ.

В интервалах между точками разбиения отклонения аппрокси­ мирующей функции от заданной могут быть недопустимо большими. Чтобы получить хорошую точность аппроксимации во всех точках, нужно прибегнуть к методам наилучшего приближения. Для этой цели возьмем пг строк (пг > л ) . Тогда получим системууравнений,

71

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

где f — вектор-столбец:

fn '

fn+l

/ =

fri+m-i..

F — прямоугольная tnXn матрица, элементами которой являются значения функции f (t) от f 0 до а — столбец искомых коэф­ фициентов:

а п -1

ао J

Число т выбираем достаточно большим, удовлетворяющим соотно­ шению

4 = іп + /л — 1) Т,

где 4 — время наблюдения процесса.

Система уравнений (2.79) является несовместной. В теории матриц доказано, что эта система имеет одно и только одно наилуч­ шее приближение (при использовании метода наименьших квадра­

Оригинал f [kT] для изображения F (z) будет решением урав­ нения (2.70) с начальными условиями (2.71). При этом f (kT) опре­ деляется для всех неотрицательных значений k по формуле обрат­ ного z-преобразования

Контур интегрирования Г в плоскости z, охватывающий особые точки F (z), изображен на рис. 2.10.

Полученная аппроксимирующая функция будет наилучшим при­ ближением к функции /* (/).

Уравнение (2.81) представляет собой выражение для обратного z-преобразования аппроксимируемой функции, так как /* (і) опре­ деляется значениями интеграла (2.81) для всех неотрицательных к.

72

ГЛАВА 2

Действительная выходная величина представляется следующим образом:

Для применения формулы обращения целесообразно дробно­ рациональную функцию F (z) разбить на элементарные дроби. При этом могут иметь место следующие случаи:

1. Элементарная дробь имеет вид

От показательной функции zT мож­

но перейти к экспоненциальной, пред­ ставляя корень 2 ,- в виде zt — emc, где

mf = ln zt. Тогда

Рис. 2.10. Особые точки кон­ тура интегрирования.

h (z) = 2 -1 { - ^ r } = Afi— *. (2.84)

2.Полюсы элементарной дроби кратные, т. е. дробь имеет вид

Ага ■. Тогда

(2 - у ) “

3.Полюсы элементарной дроби комплексные сопряженные, т. е.

гинала /з (t) представим рассматриваемую дробь в следующем виде:

73

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Сравнивая с табличными преобразованиями (индексы далее опу­ скаются)

В выражении (2.87) известны все величины за исключением а и ю0. Определим значения а и и 0. Корни знаменателя дроби

С другой стороны, известны численные значения комплексно­

74

Логарифм комплексно-сопряженного числа раскладывается сле­ дующим образом:

Аппроксимация любого закона распределения по рассмотренной методике приводит к сумме функций времени вида (2.84) или (2.87) в зависимости от характера изображения. Применив к аппроксими­ рующей функции преобразование Лапласа, получим дробно-рацио­ нальную функцию комплексной переменной для ядра и возмущаю­ щего воздействия. Решение интегрального уравнения осуществляется по методике, изложенной в § 2.7.

При рассмотрении специфики функционирования судовых систем управления был сделан вывод о нестационарное™ режимов работы ряда систем. Тенденция к введению в системы управления цифровых вычислительных машин, построенных на миниатюрных и микро­ миниатюрных элементах, а также появление других устройств

75

АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

на микроминиатюрных схемах приводит к увеличению периода при­

ного времени эксплуатации судов поток отказов элементов является нестационарным.

На рис. 3.1 приведены гистограммы плотности вероятности отка­

W

Рис. 3.1. Гистограмма плотности вероятности отказов’ оборудования некоторых судов.

сти по коэффициенту готовности kr оказывается неправомерной. Кроме того, в подобных случаях является несправедливым утверждение [22] о том, что коэффициент готовности всегда не пре­ восходит значений функции готовности и поэтому применим для характеристики большинства систем. Дело в том, что на участке приработки системы функция готовности может принимать значе­ ния, меньшие, чем коэффициент готовности, т. е. наблюдается «про­ вал» функции готовности, величина и продолжительность которого могут быть значительными. Так, например, значения функции готов­ ности Г (t) системы, отказы которой распределены по закону супер­ позиции двух экспонент с параметрами = 0,01 ч~1, Х2 = 0,1 ч-1, сг — с2 — 0,5, а восстановление экспоненциально с интенсивностью

76

ГЛАВА 3

(X = 0,5 ч ' 1, в течение 50 ч будут меньше коэффициента готовности, равного 0,965, причем минимальное значение Г (t) равно 0,904. Неучет провала функции готовности приводит нередко к грубым погрешностям в оценке надежности системы и, кроме того, может повлиять на выбор ЗИПа, выбор стратегии обслуживания и пони­ зить эффективность использования судна.

Таким образом, во многих случаях важен анализ поведения функ­ ции готовности до наступления стационарного режима работы си­ стемы. В частности, изучение поведения функции готовности при нестационарном режиме важно:

а) для оценки надежности аппаратуры, не прошедшей трени­ ровки на заводе-изготовителе или прошедшей недостаточную тре­ нировку на начальном этапе ее эксплуатации;

б) для исследования возможностей устранения или уменьшения провала функции готовности;

в) для обоснования сроков тренировки аппаратуры при ее изго­ товлении;

г) для оценки надежности аппаратуры судна, поступившего на длительное хранение;

д) для оценки надежности аппаратуры при ее старении;

Для законов распределения времени между отказами, свойственных нестационарным режимам, функция готовности имеет вид, пока­ занный на рис. 3.2. На кривой Г (t) можно выделить три характер­ ных участка (0, П). (^і. ^з)> (^з> °°)- На участке (0, функция Г (t) незначительно отличается от вероятности безотказной работы Р (t). Именно поэтому иногда считают функцию готовности в начальный период эксплуатации равной вероятности безотказной работы. Такая аппроксимация, однако, оправдана лишь при наличии возможности найти оценку границы допустимого приближения.

Для всех моментов времени t >> t3 функция Г (t) практически совпадает со своим установившимся значением kT. На участке (tly t3) значения функции готовности меньше коэффициента готовности, достигая минимального значения в некоторой точке t2. Отклонение значения функции готовности Г (t) от ее стационарного значения можно оценивать коэффициентом G, представляющим собой выра­ женное в процентах относительное отклонение функции готовности в точке tа от установившегося значения kr:

77

АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Величина провала функции готовности ДГ зависит от характера

и глубины провала функции готовности и выявления средств, позво­ ляющих уменьшить этот провал. Не лишена смысла также более общая задача, состоящая в исследовании провала функции готов­ ности для наиболее часто встречающихся законов распределения времени безотказной работы и времени восстановления и влияния на этот провал параметров распределений. К сожалению, не всегда

отличных от суперпозиции экспонент, нахождение значения функ­ ции Г (t) для моментов времени t £ (0, ^3) сопряжено с вычисле­ ниями по формулам численного интегрирования типа (2.39). Эти вы­ числения значительно более громоздки и абсолютно непригодны для расчетов вручную. Однако с помощью ЭЦВМ такого рода вычис­ ления выполняются без труда при сколь угодно сложных законах распределения времени отказов и времени восстановления, причем оценка Г (t) возможна как путем численного решения интегрального

78

ГЛАВА 3

выражения, так и путем моделирования процессов функционирова­ ния (см. гл. 5).

В данной главе рассматривается поведение функции готовности при различных законах распределения времени безотказной работы, причем исходя из характера интенсивности отказов законы, описы­ вающие нестационарные потоки отказов, разделены на две группы. К первой группе относятся законы, у которых интенсивность отка­ зов является убывающей функцией времени, ко второй — законы с возрастающей интенсивностью отказов. Распределения отказов с убывающей интенсивностью представляют интерес, так как харак­ теризуют процесс приработки сложных систем. Класс распределе­ ний с возрастающей интенсивностью описывает явления «старения» и износа аппаратуры и поэтому также должен изучаться. Ниже пока­ зано влияние параметров этих распределений на форму функции готовности. Кроме того, иллюстрируется влияние параметра рас­ пределения времени восстановления, а также резервирования на по­ ведение функции Г (t).

ПРИ УБЫ ВАЮ Щ ЕЙ ИНТЕНСИВНОСТИ ОТКАЗОВ

Судовые системы управления представляют собой совокупность раз­ нообразных устройств с различными ресурсами работы, начиная от механических и электромеханических устройств и кончая слож­ ными радиоэлектронными комплексами. Поэтому потоки отказов судовых систем управления за все время эксплуатации являются нестационарными и подчиняются различным законам.

Из наиболее широко применяемых законов распределения вре­ мени безотказной работы систем условию убывания интенсивности отказов отвечают закон суперпозиции экспонент и частные случаи

иногда интерпретируется как обобщение общего распределения

дий, то плотность распределения этого процесса выражается фор­ мулой (3.3).

79

АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Наряду с такой трактовкой можно также рассматривать данную формулу как плотность (2п — 1)-параметрического закона распре­ деления времени безотказной работы. Подобная точка зрения весьма плодотворна. Эмпирические распределения, соответствующие убы­ вающим функциям X (t), можно представить путем надлежащего выбора параметров Хс и ct выражением (3.3). Это обстоятельство, а также относительная простота расчетов, связанных с определением функции готовности, делают этот закон удобным для аппроксимации

3.3. Интенсивность потока отказов информационно-вычислитель­ ной машины типа ИВ-500.

В настоящее время определилась тенденция применения систем автоматической диагностики и прогнозирования отказов на крупнотоннажных судах. Создание надежных и эффективных систем авто­ матического контроля и диагностики отказов на судах стало возмож­ ным в результате применения вычислительной техники. На неко­ торых зарубежных судах уже эксплуатируются общесудовые ЭВМ, выполняющие комплекс задач контроля и управления [39]. Опыт работы ЭВМ в сложных условиях эксплуатации показывает, что для них существует период приработки.

Для иллюстрации приведем анализ надежности информационно­ вычислительной машины типа ИВ-500, управляющей работой блока котел—турбина [49, стр. 3—5]. На рис. 3.3 показан график интен­ сивности X (t) потока отказов данной машины, который аппрокси­ мирован выражением

80