книги из ГПНТБ / Варжапетян, А. Г. Готовность судовых систем управления

ГЛАВА 3

Очевидно, что

Яр(0 = ^Кр<*} = 1 — р \ *р > { \=

Используя выражения (3.7), (3.8) и (3.9), по изложенному в § 2.5 алгоритму находим последовательности значений функции готов­

рования на поведение функции готовности качественно не отлича­ ется от представленного на рис. 3.15, но степень этого влияния зависит от эффективности применяемых схем резервирования.

Если время безотказной работы и время восстановления основной и резервных систем подчинены экспоненциальному закону, то функ­ ция готовности резервированной системы изменяется от 1 до kr. При этом kT всегда меньше значения функции готовности, и потому коэффициент готовности применим для оценки готовности системы.

Выражение для функции готовности в данном случае получается на основе математического аппарата теории простых марковских цепей [40]. В [22] получены формулы Г (t) для различных видов и кратности резервирования, удобные при инженерных расчетах. Выражения для функции готовности при нагруженном резервирова­ нии различной кратности и различных стратегиях восстановления приведены в табл. 3.3, а для ненагруженного резервирования — в табл. 3.4.

91

92

93

Одним из эффективных методов повышения готовности судовых систем управления является введение различного рода избыточности и в том числе резервирования на всевозможных уровнях. Резервиро­ вание неизбежно связано с увеличением веса оборудования, его га­ баритов, стоимости и т. п. Поэтому необходима оптимальная страте­ гия резервирования, обеспечивающая требуемый уровень готовности при минимальных затратах. Даже при условии построения отдель­ ных систем судовой автоматики на базе интегральных схем, для кото­ рых проблема обеспечения заданной надежности в известной степени решена, вопрос оптимизации структуры избыточных систем не теряет своей актуальности.

Достижение определенного уровня готовности при минимальных затратах не всегда может быть обеспечено с помощью резервирования. Кроме того, при резервировании изменение затрат происходит дискретно, как правило, с большим шагом. Поэтому представляется целесообразным проанализировать возможные методы повышения готовности и разработать методику оптимального их применения для достижения заданного уровня готовности при минимальных затратах. Для этого необходимо предварительно установить связь между стоимостью и готовностью при различных способах повышения последней. Решение указанных задач при наличии ограничений, определяемых спецификой использования систем на судах (ограни­ ченный объем отсеков, длительный отрыв от портов и т. д.), приводит к необходимости использования математических методов оптимиза­

Оптимизация структуры избыточных систем требует в каждом кон­ кретном случае, с одной стороны, правильного выбора (в соответ­ ствии с функциональным назначением системы) максимизируемого критерия надежности или рациональной совокупности критериев, а с другой стороны, создания достаточно полной математической

94

ГЛАВА 4

модели процесса. Что касается выбора критерия оптимизации, то он зависит от назначения и структуры системы. В этой связи можно выделить две разновидности задач оптимизации резервирования. К первой разновидности относятся задачи, в которых известно не­ обходимое время работы системы і и требуется создать оптимальную структуру последовательно-параллельного включения компонентов, обеспечивающую получение заданного или максимального значения вероятности безотказной работы в течение этого времени при извест­ ных ограничениях на какой-либо лимитирующий фактор или на совокупность факторов. Подобного рода ситуации возникают обычно для систем одноразового действия. При этом в качестве критерия надежности выступает естественным образом вероятность безотказ­ ной работы Р (t).

В формализованном виде задача может быть представлена сле­

где тк — количество параллельно включенных элементов или узлов /г-го типа, образующих ступень резервирования; Рк (тк) — вероят­ ность безотказной работы k-й ступени резервирования; п — коли­ чество последовательно включенных ступеней, образующих основное соединение, при некотором ограничении, например ограничении на суммарный вес системы Wc

Таким образом, задача сводится к определению таких целочислен­ ных компонент /г-мерного вектора М = (т^ т 2, . . ., тп), которые максимизируют функционал (4.1) при одновременном выполнении условия (4.2) либо условия (4.3). Такого рода вопросы подробно исследованы в литературе, в частности в [1, 3, 6].

К рассматриваемой разновидности задач можно отнести также задачу выбора оптимальной избыточной структуры восстанавливае­ мых систем в установившемся режиме их работы. Для этих систем оправдано постоянство структуры в течение всего периода эксплуа­ тации. Критерием оптимизации для них может служить среднее время наработки на отказ Т либо, если изменение структуры системы влечет за собой изменение характеристик ее восстанавливаемости,

95

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ готовности

коэффициент готовности /гг или функция готовности в установившемся режиме Г (s). В первом случае максимизируется функционал

Следует отметить, что задачи оптимизации структуры по крите­ риям Р (t), Т и kr не адекватны. Прежде всего при оптимизации по Р (t) структура системы является функцией аргумента t, чего нет в случае критериев Т и kr. Кроме того, оптимальные структуры, полученные по данным критериям, различны. Проиллюстрируем сказанное примером.

Пример 4.1. Пусть имеется нерезервированная система, состоящая из трех

женное резервирование таким образом, чтобы было достигнуто максимальное значе­ ние заданного критерия, а вес системы при этом не превышал 12 единиц. Результаты

Второй разновидностью задач оптимизации резервирования яв­ ляются задачи, связанные с поддержанием на требуемом или макси­ мальном уровне некоторого критерия надежности в течение длитель­ ного периода эксплуатации при нестационарных режимах работы,

96

где wkm{l) — вес k-k резервированной ступени на l-ы этапе оптими­ зации структуры системы в области, определяемой соотношениями

Г (t, s) не имеет принципиальных особенностей по сравнению с опти­ мизацией по критерию Г (t).

Рассматриваемые вопросы оптимизации структуры могут быть решены с помощью различных математических методов исследования операций, в частности путем использования метода неопределенных множителей Лагранжа, метода наискорейшего спуска, метода дина­ мического программирования. В силу ряда преимуществ наиболее удобным является метод динамического программирования, позво­ ляющий находить все целочисленные оптимальные решения. Метод

ных блоков при небольшой кратности, что на практике обычно и имеет место.

Рассмотрим более детально максимизацию функционала (4.6), так как к этой задаче могут быть сведены многие часто встречающиеся

на практике ситуации. Обозначим функционал Г(/) в (4.6) через /дЯ. Тогда функциональное уравнение для решения данной задачи мето­ дом динамического программирования при ограничениях (4.7) будет иметь вид

при нескольких ограничениях могут быть использованы различные алгоритмы [3, 32]. Приближенный алгоритм [3, стр. 62— 67] позво­ ляет перейти от задачи оптимизации при нескольких ограничениях к задаче оптимизации с одним искусственным ограничением. Объем вычислительной работы в данном случае значительно сокращается по сравнению с точным алгоритмом [32]. Поэтому определение

98

ГЛАВА 4

членов оптимальной последовательности на каждом шаге оптимизации будем производить с помощью указанного приближенного алгоритма. Алгол-программа решения задачи оптимизации с использованием уравнения (4.10) приведена в приложении II. Программа составлена

с учетом того, что последовательность значений (Г(/) (шд/тдг')} определяется из выражения (1.35) с привлечением изложенного в § 2.5 алгоритма численного решения (см. приложение I). Значе­ ния функций Р (t), а (t) и г (t) вычисляются по формулам для резер­ вированных систем, например приведенным в [33].

Работу данного алгоритма иллюстрирует следующая модель.

зовать нагруженное резервирование на уровне подсистем. Отказы основных и резервных подсистем распределены по одним и тем же законам. Время восстановления каждой подсистемы с учетом резервирования распределено по закону (3.9). Для более наглядной иллюстрации влияния формы участков приработки каждой из под­ систем на оптимальную структуру системы их веса взяты равными единице. Требуется выбрать такую кратность резервирования под­ систем, чтобы в течение всего времени эксплуатации, включающего периоды приработки и установившейся работы, система имела наи­ больший уровень готовности при суммарном весе, не превышающем 8 условных единиц. Очевидно, что не существует такой постоянной

структуры, которая обеспечивала бы выполнение данного требо­ вания. Следовательно, задачу необходимо решать поэтапно, изме­ няя периодически значения компонент вектора М для достижения требуемой готовности системы на каждом этапе.

Рассмотренный выше алгоритм обеспечивает такое решение. В табл. 4.2 представлена стратегия оптимального изменения струк­ туры системы, полученная в результате просчета приведенной мо­ дели по указанному алгоритму. Десятый этап оптимизации доответ-

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ готовности

ствует установившемуся состоянию системы. Это означает, что в даль­ нейшем структура не меняется и значение М = (2, 2, 4) является оптимальным для данного периода.

Алгоритм дает возможность решать также задачу оптимизации структуры системы с использованием уравнения (4.8) при ограни­ чениях (4.9). Для иллюстрации этой задачи в условиях рассмотрен­ ного примера выбираем такую стратегию резервирования в течение

решение представлено в табл. 4.3, из которой следует, что минималь­

100