книги из ГПНТБ / Варжапетян, А. Г. Готовность судовых систем управления

выполняющий операцию свертывания двух функций К ( 0 и у (t).

Операции свертывания функций в области вещественной пере­ менной соответствует перемножение на комплексной плоскости изображений этих функций по Лапласу.

преобразования Лапласа к уравнению (2.45) приводит к соотно­ шению

Для получения на АВМ функции у (t) в области вещественной переменной необходимо синтезировать динамическую систему, обла­ дающую заданными характеристиками.

Выражение (2.48) можно представить как уравнение, описываю­ щее некоторую реальную систему. Тогда в зависимости от того, какую составляющую принять в данном уравнении за изображение входного сигнала и за передаточную функцию системы, возможны четыре варианта реализующих схем, которые приведены на рис. 2 .6 .

Во всех четырех случаях функция у (t), являющаяся оригиналом для Y (р), представляет собой искомую переменную и должна быть выходным сигналом модели. Схема, представленная на рис. 2.6, г, нереализуема на АВМ, так как представляет собой систему, охва­ ченную положительной обратной связью.

Для реализации схемы, представленной на рис. 2.6, а, необхо­ димо смоделировать S-функцию, изображение по Лапласу которой

61

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

равно 1. Это связано с большими трудностями, и поэтому для моде­ лирования соотношения (2.48) ограничиваются воспроизведением на АВМ схем, показанных на рис. 2.6, б и в. При этом если F (р)

представляют собой дробно-рациональные

т Л ы = к '{р)

функции комплексной переменной р, то для моделирования соотно­ шения (2.40) на АВМ необходимо составить схему моделирования передаточной функции и схему воспроизведения функций времени, изображение которой является дробно-рациональной функцией пере­ менной р.

Рассмотрим методику моделирования дробно-рациональной функ­ ции на АВМ общего применения.

Пусть

где Ьп = 1 .

Если bn =h 1, то, разделив числитель и знаменатель на Ьп, при­ ведем выражение функции F (р) к требуемому виду. Перепишем выражение (2.49) следующим образом:

Выражение (2.50) представляет собой изображение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью, содержащей производные от входной величины. Решение этого уравнения на АВМ общего назначения обычным мето­ дом понижения порядка производной требует использования диффе­ ренцирующих устройств для дифференцирования входного сигнала. Чтобы избежать этого, преобразуем уравнение так, чтобы схема набора состояла только из интеграторов. С этой целью разделим обе части уравнения на высшую степень р. Выбрав в самом сложном случае т = п, получим

Y(p) =

Разрешив уравнение (2.51) относительно Y (р) и сгруппировав члены по степени аргумента р, получим

62

Уравнение (2.52) содержит только операторы интегрирования и легко реализуется на АВМ с помощью интеграторов, схемы которых

к\р)

0--*— 'Ѵ(р)

Рис. 2.7. Структурная схема, реализующая зависимость (2.52).

представлены на рис. 2.7. Изображения выходных величин интегра­

Если какой-либо из коэффициентов аг, bt равен нулю, соответ­ ствующий канал в схеме набора отсутствует. Заметим, что в слу­ чае ап — 0 в изображенной схеме отпадает также надобность в вы­

ходном сумматоре, так как канал обратной связи замыкается с вы­ хода л-го интегратора на вход первого, а Zn (р) = Y (р). Входное воздействие К' (р) представляет собой при моделировании на АВМ изображение функции времени К' (t).

Синтез дифференциального уравнения, решением которого яв­ ляется функция К' (0 , проводится следующим образом.

Пусть

63

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Рассмотрим дифференциальное уравнение п-го порядка с постоян­ ными коэффициентами dt

L [ x W { t ) \ = p nX ( p ) - t 4 i- ' )Pn- 1

t= 1

Подставив полученные выражения в уравнение (2.55), сгруппи­ ровав члены по степеням р и разрешив уравнение относительно X (р), получим выражение

(2.56)

из которого видно, что изображение X (р) решения дифференциаль­ ного уравнения (2.55) представляет собой правильную дробно-рацио­ нальную функцию относительно р.

При начальных условиях

х ( 0 ) = х ( 0 ) = ■■■ = x w (0) = 0

порядок числителя понижается на р, единиц.

Введем следующие обозначения для коэффициентов при степе­ нях рс в числителе выражения (2.56):

64

ние (2.54);

3)составляют схему набора на АВМ общего назначения урав­ нения (2.54) методом понижения порядка производной;

4)по формулам (2.60) определяют начальные условия этого уравнения.

Проиллюстрируем данную методику на примере определения параметра потока отказов при ненагруженном резервировании эле­

ГТГГЙ Равно

Ввиду того, что выражение (2.65) представляет собой дробно­ рациональную функцию, степень числителя которой совпадает со степенью знаменателя, и для таких соотношений рассмотрена методика моделирования передаточных функций, при реализации зависимости (2.63) примем схему, показанную на рис. 2.6, б.

66

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

является функция (2.64). Применительно к общей формуле (2.59) коэффициенты передаточной функции таковы:

Характеристическое уравнение имеет вид

Я3 + ЗЯоЯ2 + ЗЯ£я + Я£ = 0,

а соответствующее ему дифференциальное уравнение

х'-і- ЗЯо* + ЗЯ^х + Я? = 0 .

Начальные условия определяем с помощью соотношений

х(0) = с2 = 0;

Покажем использование данной методики для получения функции готовности системы энергопитания, состоящей из трех параллельно работающих в смысле надежности генераторов. Выражение этой функции в изображениях по Лапласу было получено в § 2.6 [фор­ мула (2.44)].

Для случая, когда Я = 0,5 ч -1, р — 1 ч-1, соотношение (2.44) принимает вид

Запишем это выражение в виде двух сомножителей:

Первый сомножитель будем моделировать как функцию времени,

изображением которой является а второй сомножитель — по ме­

тодике моделирования передаточных функций, изложенной в данном параграфе. На рис. 2.9 показана схема моделирования на АВМ соотношения (2.69) (за величину скачка принято напряжение 25 в).

Если преобразования Лапласа К' (і) не существует или оно пред­ ставляет собой рациональную либо трансцендентную функцию от пе­ ременной р, то функцию К' (р) можно аппроксимировать решениями обыкновенных однородных дифференциальных уравнений с постоян-

68

ГЛАВА 2

ными коэффициентами. Аппроксимация применяется также и тогда, когда изображение F (р) в уравнении (2.47) не является дробно­ рациональной функцией комплексной переменной р.

256

Ввиду того что изображением экспонент с действительными и комплексными показателями являются дробно-рациональные функ­ ции оператора р, целесообразно выполнить аппроксимацию, супер­ позицией показательных функций.

комбинацией показательных функций с использованием критерия наименьших квадратов применима только для случая, когда показа­ тели экспонент являются действительными числами. Если же Xk являются комплексными сопряженными числами, то предложенная в [4] методика не годится. Поэтому используем разработанный Г. Г. Гершелисом способ аппроксимации заданной функциональной зависимости решением линейных разностных уравнений с постоян­ ными коэффициентами.

Пусть некоторая функция /* (t) задана в виде графика или из­ вестны ее значения в отдельные равноотстоящие моменты времени }Т,

Подвергнем уравнение (2.70) z-преобразованию. Согласно теореме

69-

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Группируя члены уравнения (2.73) по степеням z и решая его отно­ сительно F (z), получим

Как видно из (2.74), коэффициенты при степенях z представляют собой линейные комбинации из начальных условий (2.71) разност­ ного уравнения (2.70). Обозначим эти коэффициенты следующим образом:

Ьп-і — /о!

70