книги из ГПНТБ / Варжапетян, А. Г. Готовность судовых систем управления

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ готовности

Прежде чем перейти к анализу этой модели, выведем по методике, предложенной А. И. Коёкиным, функцию стоимости при нагружен­ ном резервировании и покажем, что способ увеличения уровня го­ товности за счет применения нагруженного резервирования яв­ ляется самым неэкономичным. Коэффициент готовности резервиро­ ванной системы с кратностью т при неограниченном восстановлении определяется по формуле

Стоимость резервированной системы в случае нагруженного ре­

Допустим теперь, что предложен метод, при котором увеличению коэффициента готовности до значения krl соответствует изменение

нения нагруженного резерва; Асх — приращение стоимости системы в результате применения метода, увеличивающего коэффициент готовности до значения krl. Ясно, что разрабатывать такой метод нецелесообразно. Применение его обосновано при выполнении со­ отношения

Рассмотрим функцию (4.11). Пусть с2 — стоимость системы с ко­

Функция стоимости, определяемая выражением (4.18), и функция стоимости системы при нагруженном резервировании имеют общую исходную точку с координатами kr0 и с„. Чтобы найти другие общие

102

' ГЛАВА 4

Графическое решение этого уравнения представлено на рис. 4.2, где построены вспомогательные функции

Уі = {1 — £ r)f l n ( l — k ry,

г/ 2 = (1 — Ar0 )M n (l— Ar0).

Функция г/i при kr = k'r имеет минимум. Из рис. 4.2 видно, что кривая у г и прямая у 2 имеют две точки пересечения. Значит, урав­ нение (4.19) имеет два решения krl и kr2.

Найдем минимум функции у х, приравняв нулю ее производную:

или после подстановки у х

X ln (1 — kT) = 0.

После упрощения получим

Определим характер пересечения функций с2 и сн%р в точке Аг0,

для чего найдем их производные

В точке kro производные соответственно равны

Проверим выполнение условия (4.16):

После подстановки соответствующих выражений получим нера­ венство

103

Сопоставляя (4.20) и (4.21), приходим к выводу, что для значе­

ний Г о < 1 — е 1 общей исходной точкой функций с % и сн. р

с координатами Го и с0 является точка Г і на рис. 4.2. В этом случае условие (4.21) выполняется, а для

и с0 может быть любая из этих

точек в зависимости от величины коэффициента готовности исход­

всегда выполняется, и, следовательно, исходной точкой всегда будет точка 2.

На основании изложенного выше можно сделать вывод, что функция (4.18) неудовлетворительно аппроксимирует существующие методы повышения готовности, так как дает увеличение стоимости большее, чем при нагруженном резервировании всего устройства в целом. Применение этой функции в расчетах приводит к несколько заниженному значению оптимальной готовности.

На рис. 4.4 представлена область расположения графиков всех возможных функций стоимости, имеющих исходную точку с коорди­ натами Г о и со- Эта область ограничена линиями 2 и 3. Кривой /,

соответствующей случаю нагруженного резервирования, она разде­ ляется на две области / и II. Допустимой является область I. Гра­ фиками допустимых функций стоимости являются кривые, имеющие общую точку с координатами Г о и со. располагающиеся ниже кри­ вой 1 и не пересекающие ее во всем диапазоне значений Г > Го-

Такие графики имеют логарифмические функции вида c ' = c 0log/(l — Г)-

104

ГЛАВА 4

На рис. 4.5 изображены кривая, соответствующая случаю на­ груженного резервирования ctl p, логарифмическая кривая с' и гра­ фик искомой функции с. Кривая с может быть получена путем пере­

< 1 — kr0. Чем меньше /, тем ниже пойдет кривая и тем совершеннее

метод повышения готовности. При / = 1 — krQ функция (4.23) превращается в функцию, характеризующую нагруженное резерви­ рование, а при / = 0 имеем идеальный случай увеличения надежности без затрат. Если известны исходная стоимость с0 и коэффициент

готовности, а также стоимость с и соответствующий ей коэффициент kr улучшенного образца, то согласно [22, стр. 43] параметр / можно определить по формуле

< 4 - 2 4 >

Как показано в [23], в результате анализа и обработки стати­ стических данных можно утверждать, что параметр / изменяется в пределах

l ~ k rQ< f < ( l - k r0)\

105

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ готовности

Зависимость, аналогичная (4.23), справедлива и для вероятности безотказной работы:

С = Со( 1 + 1 о &£ £ ) ,

где Р и Р й — вероятности безотказной работы улучшенного и исход­ ного образцов соответственно.

При экспоненциальном законе распределения времени безот­ казной работы от вероятности безотказной работы можно легко перейти к интенсивности отказов, получив еще один вид функции

Таким образом, рассматриваемый вид функции стоимости повы­ шения готовности (4.23) при надлежащем выборе параметра f доста­ точно хорошо характеризует реальные методы повышения готов­ ности и целесообразен для применения в расчетах по оптимизации готовности систем.

Из формулы (4.23) найдем зависимость коэффициента готовности от величины средств, затрачиваемых на его повышение. В этом слу­ чае выражение для коэффициента готовности улучшенного образца

Для исследования эффективности того или иного способа повы­ шения готовности необходимо показать, как изменяются количествен­ ные характеристики готовности при применении данного метода. Исходя из выбранного критерия готовности и основных способов

Функция (4.27) позволяет рассмотреть влияние на коэффициент готовности как характеристик безотказности, так и характеристик ремонтопригодности.

В случае избыточных систем следует иметь в виду, что разнообра­ зие методов резервирования и способов включения резерва не позво­ ляют установить однозначную связь между готовностью резерви­ рованных систем и стоимостью обеспечения этой готовности. Поэтому можно рассмотреть подход, заключающийся в том, что сначала

106

ГЛАВА 4

определяется среднее время безотказной работы при различных спо­ собах включения резерва и различных стратегиях восстановления, а затем определяется изменение уровня готовности как функции от показателей резервирования.

Для резервированных систем при нагруженном резервировании возможны два режима восстановления:

1 ) с восстановлением отказавших блоков после отказа всей

резервированной системы; 2 ) с восстановлением отказавшего блока сразу же после его

отказа.

Для первого случая среднее время безотказной работы опреде­

п — число блоков в резервированной системе; m — число исправных блоков, при котором резервированная система сохраняет свою рабо­ тоспособность.

Для второго случая

Проиллюстрируем сказанное на примере. Пусть для навигацион­ ной вычислительной машины среднее время безотказной работы 50 я, а среднее время восстановления 7 я. Имеется возможность повысить готовность этой машины с помощью мажоритарного резер­ вирования, дублирования и дублирования с восстановлением в про­ цессе эксплуатации. Рассчитанные значения коэффициента готов­ ности и среднего времени безотказной работы для различных видов резервирования представлены в табл. 4.4.

Из табл. 4.4 следует, что наилучшим из рассмотренных методов повышения готовности является резервирование с восстановлением в процессе эксплуатации резервированной системы. Однако реализа-

107

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ ГОТОВНОСТИ

дня такого способа повышения готовности приводит к усложнению, а следовательно, и удорожанию системы. Кроме того, восстановле­ ние в процессе эксплуатации не всегда может быть реализовано по техническим причинам или в силу опасности выполнения восстано­ вительных работ при включенном состоянии резервных систем.

Анализ изменения коэффициента готовности нерезервированной и резервированной систем при улучшении ремонтопригодности показывает, что с повышением кратности резервирования возрастает эффективность улучшения ремонтопригодности как способа повыше­ ния готовности. Трудность получения стоимостной зависимости при этом не позволяет однозначно рекомендовать один из способов повышения готовности, а поэтому целесообразно определить методику получения их рационального сочетания для эффективного обеспече­ ния заданного уровня готовности.

РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ ПОВЫШЕНИЯ ГОТОВНОСТИ

Задачу исследования эффективности различных способов повышения готовности можно свести к задаче сравнения оптимальных структур синтезируемой системы, полученных при применении допустимых способов повышения готовности. В этом случае решение поставлен­ ной задачи будет осуществляться на основе двух алгоритмов:

1 ) алгоритма нахождения оптимальных структур для различных

способов повышения готовности; 2 ) алгоритма мажорирования полученных оптимальных структур

с целью получения результирующей оптимальной структуры.

Как уже отмечалось ранее, задачу синтеза оптимальной струк­ туры можно решать различными методами, каждый из которых имеет определенные преимущества и недостатки. Воспользуемся методом динамического программирования, который является весьма эффективным способом максимизации при решении различных проб­ лем, связанных с многоэтапным выбором. К числу этих проблем относится и проблема оптимального выбора структур.

Сформулируем поставленную задачу о получении минимального коэффициента простоя при заданной стоимости с помощью методов теории динамического программирования. Для вывода основного функционального уравнения запишем рассматриваемую задачу в виде

ОС 2

i = l

108

ГЛАВА 4

где kn — коэффициент простоя системы; /?П(- (xt) — коэффициент простоя і-й подсистемы, когда в ней имеется х с резервных элементов; Cj- — стоимость одного элемента і-го типа; с 0 — величина, ограничи­

T. e. индекс при функции f означает размерность минимизируемой

функции /гп.

Тогда выражение (4.31) можно записать в виде

рекуррентное решение поставленной задачи. Идея решения функцио­ нального уравнения состоит в следующем:

а) определяются оптимальные двумерные векторы состава системы для первого и второго элементов при всех значениях показателя стоимости, не превосходящих с0;

б) находятся оптимальные трехмерные векторы состава системы для третьего элемента и соответствующих пар (xlt х 2) при всех зна­ чениях показателя стоимости, не превосходящих с0;

в) процедура продолжается до тех пор, пока не будет найден оптимальный п-мерный вектор состава для /г-го элемента и соответ­ ствующего оптимального вектора (xlt х 2, . . ., хп) при значении пока­ зателя стоимости, равном с0;

г) выделяется оптимальное хп и соответствующий оптимальный вектор (хъ х 2, . . ., хп_х), которые в совокупности и дают оптималь­ ное решение.

109