§2. Ортогональные операторы

В комплексных унитарных пространствах рассматривались унитарные операторы, т.е. операторы, сохраняющие скалярное произведение ((Ux,Uy) = (x,y)), их аналогом в евклидовых пространствах являются ортогональные операторы.

Def: Линейный операторP, действующий в евклидовом пространстве называется ортогональным, еслиx,yV: (Px,Py) = (x,y).

Непосредственно из определения следует, что если {e_k} ортогональный базис вV, то {Pe_k} тоже ортогональный базис вV.

Т°.Чтобы линейный операторPбыл ортогональным необходимо и достаточно,

чтобы существовал оператор P^–1и выполнялось равенствоP^* =P^–1.

◀ Необходимость. ПустьP– ортогональный.

(P^*Px,y) = (Px,Py) = (x,y)((P^*P –Е)x,y) = 0P^*P =Е (Px,Py) = (x,y)P^* =P^–1.

Достаточность. ПустьP^* =P^–1, (x,y) = (x,P^–1Py) = (x,P^*Py) = (Px,Py)▶

Def: Матрица называется ортогональной, еслиP^TP=PP^T=E.

Если е₁,е₂, …,е_nортонормированный базис вV, то операторPбудет ортогональным тогда и только тогда когда матрица оператора будет ортогональной.

В унитарном пространстве аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица, т.е. такая матрица U, чтоU^*U=UU^* =E. ЗдесьU^* эрмитово сопряженная матрица, т. е.. Нетрудно показать, что в ортонормированном базисе матрица линейного оператораUунитарна тогда и только тогда, когда операторUунитарен.

Рассмотрим ортогональное преобразование в одномерном случае хV₁,x=e,R, тогдаPe=e(Pe,Pe) = (e,e) =²(e,e) = (e,e), т.е.²= 1,=1, таким образом, в одномерном пространстве существует два ортогональных преобразования P₊x =xиP_–x= –x.

Рассмотрим ортогональное преобразование в двумерном случае. ЕслиP задается матрицей, то из условияP^TP=PP^T =Eследует, что

т.е.. Положивa= cos,b= – sin, получим, причем во второй строке надо брать либо оба минуса, либо оба плюса. При этом detP_=1.

Ортогональная матрица P₊называется собственной, аP_называется несобственной.

В ортонормированном базисе {e₁,e₂} операторP₊осуществляет поворот на угол φ в плоскости {e₁,e₂}. ЗаписавP_=QP₊, где, можем сказать, чтоP_осуществляет поворот на угол φ в плоскости {e₁,e₂} (P₊), а затем отражение относительно осиe₁ (Q).

В общем случае вn-мерном евклидовом пространстве произвольный ортогональный операторPв некотором ортонормированном базисе {е₁,е₂, …,е_n} может быть записан в виде:

.

Таким образом, в некотором ортонормированном базисе действие ортогонального оператора сводится к последовательным поворотам и отражениям относительно координатных осей.

Билинейные и квадратичные формы

в евклидовом пространстве

§1. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов

в ортогональном базисе

Т°. ПустьB(x,y) – симметричная билинейная форма в евклидовом пространствеV.

Тогда существует ортонормированный базис {e_k} пространстваVи существуют

_kRтакие, что в указанном базисе квадратичная форма.

◀ B(x,y) – симметричная билинейная формаA– самосопряженный такой, чтоB(x,y) = (Ax,y)дляA{e_k} ортонормированный собственный базисxV,;B(x,x) =A(x,x) ==

= ▶

§2. Одновременное приведение пары квадратичных

форм к сумме квадратов

Т°. ПустьA(x,y) иB(x,y) – симметричные билинейные формы в вещественном

линейном пространстве V. Пусть, кроме того,xV,x0,B(x,x) > 0, т.е.

квадратичная форма B(x,x) положительно определена. Тогда вVсуществует

базис {e_k}, в котором:.

◀ Рассмотрим билинейную форму B(x,y) полярную к квадратичной формеB(x,x). Учитывая свойстваB(x,x) в посылке теоремы, формаB(x,y), может задавать скалярное произведение вV(x,y)B(x,y), теперьVстало евклидовым пространством{e_k} – ортонормированный базис, в котором, при этом в ортонормированном базисе▶

Две последние теоремы дают доказательство существования и способ построения канонического базиса квадратичной формы.

Этот способ не более сложен чем, скажем, методы Лагранжа или Якоби, рассмотренные ранее. Однако доказательство полезно тем, что иллюстрирует применение самосопряженных операторов и выглядит здесь достаточно мощно.