§2. Взаимные базисы. Ковариантные и контравариантные координаты векторов
Пусть En–
евклидово пространство, пусть {e1,e2, …,en
} базис вEn
и {e1,e2, …,en}
другой базис вEn.
Базисы {ei}
и
{ei}
называются взаимными, если (ei,ej)
=
=
.
символ
Кронекера-Капелли.
Т. Любой базис {ei} изEnимеет единственный взаимный базис.
◀ Пусть
ej
=
e1+
e2+ … +
en.
Умножим равенство скалярно наei.
(ei,
ej)
=
(ei,
e1)
+
(ei,
e2)
+ … +
(ei,
en)
=
,i, j
= 1, 2,
…, n.
Имеем
неоднородную систему n-линейных
уравнений сnнеизвестными
,
Определитель этой системы есть Г(e1,e2, …,en)0, т.е. система имеет
единственное ненулевое решение.
Следовательно векторы ejопределяются однозначно. Убедимся в том, что они образуют базис (т. е. являются линейно независимыми).
Пусть 1e1 + 1e2 + …+ nen = 0. Умножим скалярно наei.
1(ei,e1) +2(ei,e2) + …+ n(ei, en) = 0 i = 0, i, j = 1, 2, …, n ▶
Замечание: если базис {ei} ортонормированный, то его взаимный базис совпадает с данным базисом.
Пусть {ei} и {ej} взаимные базисы вЕn.
Тогда хЕn
(1)
(x1,x2, …,xn)называются ковариантными координатами вектораx.
(x1,x2, …,xn)называются контравариантными координатами вектораx.
Смысл названий мы поясним далее.
Соглашение:Пусть имеется выражение, составленное из сомножителей, которые снабжены конечным числом индексов (верхних и нижних). При этом договариваются, что все нижние индексы обозначаются разными символами (аналогично верхние). Если в таком выражении встречаются два одинаковых индекса, из которых один верхний, а другой – нижний, то считается, что по таким индексам производится суммирование от 1 доn.
Например:
.
Используя, это соглашение формула (1) записывается так: x=xiei,x=xiei, (индекс суммирования может быть обозначен любым символом, результат не изменится – и частоназывается«немым» (иногда «глухим») индексом).
Пусть
x=xiei.
Умножив наej,
получим (x,ej)
=xi(ei,ej)
=xi
=xj.
Аналогичноx=xiei
умножим наejи получим (x,ej)
=xi(ei,ej)
=xi
=xj.
Т.е. получили формулы:
эти формулыназываются формулами Гиббса.
Тогда используя формулы Гиббса, запишем: ej = (ej,ei)ei иej = (ej,ei)ei и обозначивgji= (ej,ei) ,gji= (ej,ei) получимej =gjiei;ej =gjiei.
Т.е. для получения взаимного базиса {ej} по базису {ei} достаточно знать матрицуgji= (ej,ei) и наоборот: для получения базиса {ej} по базису {ei} достаточно знать матрицуgji= (ej,ei) . (Точнее их обратные матрицы).
Т. Матрицыgjiиgji – взаимнообратные.
◀ Соотношение
ei
=gjiejумножим наek:
=
(ei,ek)
=gji(ej,ek)
=gjigjk
gjigjk
=
,
т.е. произведение матриц (gji)
и (gji)
есть единичная матрица▶
Задача 1. По заданному базису {ei} (нижнему) построить ему взаимный базис {ei} (верхний), по заданному верхнему базису построить взаимный нижний.
◀ а) Чтобы построить базис взаимный к нижнему надо найти матрицу GH= (gik) = (ei,ek), обратить матрицу, получив (GH)–1и подействовать этой матрицей на матрицуFH, строками которой являются векторы нижнего базиса. После перемножения получится матрицаFB,строками которой являются векторы верхнего базиса.
б) Чтобы построить базис взаимный к верхнему надо найти матрицу GВ= (gik) = (ei,ek), обратить ее, получив (GВ)–1и подействовать этой матрицей на матрицуFB, строками которой являются векторы верхнего базиса. После перемножения получится матрицаFH,
строками которой, являются векторы нижнего базиса.
в) именно так трактуются формулы: ei =gijei = (gij)–1ei;ei =gijei = (gij)–1ei ▶