Сопряженные и самосопряженные операторы в унитарном пространстве §1. Сопряженный оператор

Def: ОператорА^*L(V,V) называется оператором, сопряженным к операторуАL(V,V), еслих, уV; (Ах,у) = (х,А^*у).

Т°. Оператор, сопряженный к линейному – линеен.

◀ (х,А^*(₁у₁+₂у₂)) = (Ах,₁у₁+₂у₂) =(Ах,у₁) +(Ах,у₂) =

= (х,А^*у₁) +(х,А^*у₂) = (х,₁А^*у₁) + (х,₂А^*у₂) = (х,₁А^*у₁+₂А^*у₂)▶

Т°.Любой линейный оператор имеет сопряженный и при этом только один.

◀ Так как (Ax,y) – скалярное произведение в унитарном пространстве, то оно является полуторалинейной формой, которую мы обозначим -B(x,y). Из теоремы о специальном представлении полуторалинейной формы следует утверждение теоремы (Ax,y) =B(x,y) = (x,A^*y)▶

Свойства сопряженных операторов.

1°Е^* =Е.◀(Ех,у) = (х,у) = (х,Еу)▶

2°(А+В)^*=А^*+В^*.

◀ ((А+В)х,у) = (Ах+Вх, у) = (Ах, у) + (Вх, у) = (х,А^* у) + (х,В^* у) = (х, (А^* + В^*)у)▶

3°(А)^*=.◀(Ах, у) =(Ах, у) =(х, А^*у) =▶

4°(А^*)^*=А.◀(А^*х, у) == (х,Ау)▶

5°(АВ)^*=В^*А^*.◀ (АВх,у) = (А(Вх),у) = (Вх,А^*у) = (х,В^*(А^*)у) = (х,В^*А^*у)▶

6°(А^–1)^*=(А^*)^–1.

Примечание: в евклидовом пространстве также справедливо все то, что сказано о сопряженном операторе, но свойство3°имеет вид: (А)^*=А^*

Примечание: физики очень часто обозначаютА^*какА⁺(читаетсяА– крест) и операциюназывают эрмитовым сопряжением.

§2. Эрмитовы (самосопряженные) операторы

Def: ОператорАL(V,V) действующий в унитарном пространственазывается эрмитовым (самосопряженным) оператором, еслиА^*=А.

Примечание: в евклидовом пространстве такой оператор называется самосопряженным.

Пусть А– произвольный линейный опреатор изL(V,V). Введем операторыА_RиА_Iпо правилуА_R = ;А_I =, тогдаА=А_R+iА_Iи кроме того:

а) (А_Rx, y) = (x, y) = (x, ()^*y) = (x, y) = (x, A_Ry);

б) (А_Ix, y) = (()x, y) = (x, ()^*y) = (x, y) = (x, A_Iy);

т.е . А_RиА_Iэрмитовы.

Отсюда :

Т°. (о специальном представлении линейного оператора)AL(V,V)

существуют эрмитовы операторы А_RиА_Iтакие, чтоА=А_R+iА_I(при

этом операторы А_RиА_Iназываются вещественной и мнимой частью

оператора А)

Def: ОператорыA,BL(V,V) называются коммутирующими операторами еслиАВ=ВА.

Оператор называется коммутаторомоператоровАиВ, и при этом– это необходимое и достаточное условие коммутируемости операторовАиВ.

Т°. Произведение эрмитовых операторовАиВбудет эрмитовым оператором тогда

и только тогда когда операторы АиВкоммутируют (т. е.АВ=ВА).

◀ Так как операторы АиВэрмитовы, то:

(АВ)^* =В^*А^* =ВА(ф)

тогда:

а) Если АВ =ВА, то из (ф) (АВ)^*=АВ, т. е. операторАВ– эрмитов.

б) Если АВэрмитов, то (АВ)^*=АВи из (ф)АВ=ВАт.е. операторы коммутируют▶

Т°. ЕслиА– эрмитов оператор, тоxV; (Ax,x)R(здесьR - множество вещественных чисел).

◀ из свойств скалярного произведения (Ах,х) = (х,Ах) из эрмитовости оператора. Тогда, т.е. (Ax,x)R▶

Т°. Собственные числа эрмитового оператора вещественны.

◀ Пусть xV, х0 иСтакие, чтоАх = λх. Тогда:

(х,х)0,– вещественно▶

Т°. Собственные векторы эрмитового оператора, отвечающие различным

собственным значениям – ортогональны.

◀ Пусть Ах₁ = λ₁х₁,Ах₂ = λ₂х₂и.

Тогда (Ах₁,х₂) = (λ₁х₁,х₂) = λ₁(х₁,х₂) равны как эрмитовы (х₁,Ах₂) = (х₁, λ₂х₂) =(х₁,х₂) = = λ₂(х₁,х₂) и получено (λ₁ – λ₂)(х₁,х₂) = 0(х₁,х₂) = 0▶