§6. Смежные классы. Нормальные делители

Если H₁иH₂– подмножества группыG, то произведениемH₃подмножествH₁иH₂называетсяH₃ =H₁H₂ {h₃h₃=h₁h₂;h₁H₁;h₂H₂}.

Отметим, что если H₁иH₂– подгруппы группыG, тоH₁H₂, вообще говоря, не подгруппа.

◀ В самом деле, если , то

, если бы можно было, то …. Но коммутативный закон, вообще говоря, не выполнен▶

Если HподгруппаGиaG, тоaHиHa, рассматриваемые как произведения множестваНи одноэлементного множества {a},называются левым и правым смежными классами подгруппыНвG. Изменениеавлечет за собой, вообще говоря, изменение смежных классов.

§7. Свойства смежных классов (сформулированы для левых, но справедливы и для правых)

1.aHaHH.Доказать самостоятельно.

2.a^1bHaH=bH. ◀ a^1bH  H (из 1) и тогда bH = (aa^1)bH = a(a^1bH) = aH ▶

3. Два смежных класса одной подгруппыHлибо совпадают, либо не имеют общих элементов.

◀ Пусть аНиbHимеют общий элемент, т.е. дляh₁,h₂H,ah₁=bh₂a^1b=H и т.к.(из2)▶

4.aaH.Доказать самостоятельно.

Пусть Нтакая подгруппаGдля которой все левые смежные классы являются и правыми смежными классами. В этом случае,аН =На,aG. ПодгруппаНдля которой все левые смежные классы являются одновременно и правыми смежными классаминазывается нормальным делителем группыG.

Т°. Если Н – нормальный делитель группы G, то произведение смежных классов –

смежный класс.

◀ аН,bН– смежные классы,аНbН=a(Нb)H=a(bH)H= (ab)HH= (ab)H ▶

§8. Примеры построения смежных классов

1. Рассмотрим группуS₃(группа перестановок 3^хэлементов).

Левые смежные классы группы S₃по подгруппеB= {P₁,P₂} состоит из классов:

B;P₅B=P₄B= {P₄,P₅};P₃B=P₆B= {P₃,P₆}.

Правые смежные классы группы S₃по подгруппеB= {P₁,P₂} состоит из классов:

B;BP₆=BP₄= {P₄,P₆};BP₅=BP₃= {P₃,P₅}.

Здесь множество левых и правых смежных классов не совпадают.

Однако … левые и правые смежные классы группы S₃по подгруппеA= {P₁,P₅, P₆} совпадают:A;AP₂=P₂A= {P₂,P₃, P₄}.

В данном случае подгруппа А– есть нормальный делитель группыS₃.

2. В множестве целых чиселZрассмотрим аддитивную подгруппу чисел, делящихся на пять:A₅= {…, –10, –5, 0, 5, 10, …}.

Левые и правые смежные классы здесь такие, {…, –9, –4, 1, 6, 11, …} – множество чисел, которые при делении на пять дают в остатке единицу. Аналогично– множества чисел, которые при делении на пять, дают в остатке 2, 3, 4 соответственно.

Все левые смежные классы совпадают с правыми смежными классами. Таким образом, A₅– нормальный делитель группыZ. Если обозначитьB₅множество целых чисел, не делящихся на пять, то можно записатьZ=A₅В₅, где знак обозначает прямое произведение.

Замечание: Множество классовобразую аддитивную группу с нейтральным элементом.

Эта группа называется фактор-группойгруппыZпо подгруппеA₅и обозначаетсяZ/A₅.

§9. Гомоморфизмы. Фактор-группа

Пусть G– группа с элементамиa,b,c, … и– некоторое множество с элементамив котором введена операция:.

Def: Отображениеf группыGна множество:называется гомоморфизмом, есливыполнено соотношениеf(ab) =f(a)f(b). При этомназывается гомоморфным образом группыG.

Если , то гомоморфизмназывается эндоморфизмом.

Е

сли задано гомоморфное отображениеGна, то все элементы группыGразбиваются на непересекающиеся классы; B классы объединяются все те элементы группыG, которые отображаются в один и тот же элемент множества.

Т°. Гомоморфный образ группы есть группа.

◀ Пусть элементы гомоморфного образагруппыGпри гомоморфизмеf. Значит,такие, чтоТогда операции вGисогласованны (по определению гомоморфизма) и осталось проверить свойства операции:

а) = f(a)((f(b)f(c)) = f(a)f(bc) = f(a(bc)) = f((ab)c) = f(ab)f(c) = (f(a)f(b))f(c) =

(ассоциативность операции);

б) f(e) обозначим:=f(a)f(e) =f(ae) =f(a) =(т.к.f(e) =единичный элемент);

б) f(a^1) обозначим : = f(a)f(a^–1) = f(a)f(a^–1) = f(e) = (т.е. обратный к ) ▶

Пусть H– нормальный делитель группыG. Определим отображениеfгруппыGна множествосмежных классов по нормальному делителюН:f:aG, тоa↦aH:aH.

Т°. ОтображениеfгруппыGна смежные классы по нормальному делителюН, при

определении операции умножения классов смежности, как подмножеств группы

G, представляет собой гомоморфизм.

◀ Истинность этого факта следует из доказанной теоремы о том, что произведение смежных классов есть смежный класс ▶

Следствием двух последних теорем является:

Т°. Множество смежных классов группыGпо нормальному делителюНс

операцией умножения этих классов, определенной как произведение подмножеств группы G, образуют группу.

Эта группа называется фактор-группойгруппыGпо нормальному делителюНи обозначается:G/H.

Очевидно, отображение fгруппыGна множество смежных классов по нормальному делителюНпредставляет собой гомоморфизм этой группы на фактор-группуG/H.

Пример: ПустьRⁿ–n-мерное линейное пространство. Оно является абелевой группой по сложению. По определению прямого произведения.–абелева подгруппа, т.е. нормальный делитель группыRⁿ. Смежным классомaRⁿслужат многообразие, фактор-группаRⁿ/изоморфна (n–1) – подпространствуR^n–1:т.е.R^n–1 =Rⁿ/. Кстати, именно этим и объясняется термин: нормальный делитель и обозначениеG/H.