§10. Две теоремы о гомоморфизмах

Тº. Пустьf– гомоморфизм группыGнаи пустьН– множество тех элементов группыG, которые при гомоморфизмеfотображаются в элементf(e), гдее– единица группыG. ТогдаНнормальный делитель группыG.

◀

Достаточно доказать, чтоН– подгруппа и, что левые смежные классы есть одновременно и правые смежные классы.

1) aH, bH  f(ab) = f(a)f(b) =

= f(e)f(e) = f(ee) = f(e), т.е. abH;

aH  f(a^–1) = f(a^–1e) = f(a^–1) f(e) = f(a^–1)f(a) = f(a^–1a) = f(e), т.е. a^–1H. ТогдаН– подгруппа группыG.

2) aG и пустьA= {xGf(x) =f(a)}. Докажем, чтоА– это одновременно и левый и правый смежные классы.

Пусть aA. Рассмотрим уравнениеax=a:f(a) =f(ax) =f(a)f(x) =f(a)f(x), отсюдаf(x) ==f(e)xH; Т.к.=aaaH.

Пусть aA. Рассмотрим уравнениеxa=a:f(a) =f(xa) =f(x)f(a) =f(x)f(a) ), отсюдаf(x) ==f(e)xH; Т.к.=aaHa.

Получили А=аН=На ▶

Тº. Пустьf– гомоморфизм группыGнаиН– тот нормальный делитель группы

G, элементaм которого при гомоморфизмеfсоответствует. Тогда группа

и фактор-группаG/Hизоморфны.

◀ Установим взаимно-однозначное соответствие между иG/H.

смежный класс, который с помощьюfотображается в.

Это отображение взаимно – однозначно, ибо смежные классы не пересекаются. Если умножение классов производить как умножение подмножеств, то станет ясно, что это ото-

бражение есть изоморфизм. Но классы смежности и есть элементы фактор-группы. ▶

§11. Группы линейных преобразований

1. Рассмотрим множество невырожденных линейных операторов (преобразований), действующих изV_nвV_n. Если определить произведение линейных операторов по правилу (AB)x=A(Bx), то:

Тº. МножествоGL(n) невырожденных линейных преобразований линейногоn-мерного пространстваVс операцией умножения операторов введенной,как (АВ)х=А(Вх) представляет собой группу.

Эта группа называется группой линейных невырожденных преобразованийлинейного пространстваV_nи обозначается:GL(n).

2.Короткое воспоминание: Линейный операторРв евклидовом пространстве называется ортогональным, еслиx,yV(евклидово пространство) (Px,Py) = (x,y).

Условие ортогональности оператора: ОператорР₂ортогонален тогда и только тогда когда существуетР^1иР^1 =Р^*.

Тº. Множество всех ортогональных операторов евклидового пространстваV_nс

обычной операцией умножения линейных операторов образует группу.

Эта группа называется ортогональной группойи обозначаетсяО(n).

◀ Пусть Р₁иР₂– ортогональные операторы. Докажем, чтоР₁Р₂тоже ортогональный оператор (Р₁Р₂x,Р₁Р₂x)(Р₂x,Р₂x)(x,y)▶

3.Еще воспоминание: Если операторРортогонален, то detP=1. Поэтому все ортогональные операторыРделятся на два класса:

а) Рдля которых detP= 1 (эти преобразованияназываются собственными)

б) Рдля которых detP=1 (эти преобразованияназываются несобственными)

Тº. Множество всех собственных ортогональных преобразований образует группу, котораяназывается собственной ортогональной группойи обозначаетсяSO(n).

4.O(n) есть подгруппаGL(n);SO(n) есть подгруппаО(n).

5. В комплексном линейном пространстве также можно рассмотреть группу линейных преобразований. Если в комплексном пространстве со скалярным произведением (унитарное пространство) рассмотреть множество линейных операторов, сохраняющих скалярное произведение: (U_x,U_y) = (x,y) (такие операторы называются унитарными), то окажется, что унитарные операторы образуют группу. Эта группа называетсяунитарной группой, обозначаетсяU_nи является аналогом ортогональной группы в унитарном пространстве.