Алгебра / Вопросы_1

Екзаменаційні питання

1. Визначення матриці. Квадратна, симетрична, кососиметрична матриці.

2. Дії над матрицями. Добуток матриць. Транспонування, комплексне та ермітове спряження матриць.

3. Внутрішні та зовнішні операції на множинах.

4. Визначення групи. Абелева група. Приклади груп.

5. Визначення поля. Приклади полів.

6. Визначення лінійного простору. Дійсні та комплексні лінійні простори. Поняття вектора. Приклади лінійних просторів.

7. Наслідки з аксіом лінійного простору.

8. Лінійний підпростір. Тривіальні лінійні підпростори.

9. Лінійна комбінація системи векторів. Лінійна оболонка системи векторів.

10. Повна система векторів. Скінченновимірні та нескінченновимірні лінійні простори.

11. Властивості повних систем векторів. Метод «прополки».

12. Лінійно незалежні системи векторів. Властивості лінійно незалежних систем векторів. Метод «посадки».

13. Зв’язок між повними та лінійно незалежними системами векторів.

14. Базис лінійного простору. Теореми про базис лінійного простору. Розмірність лінійного простору. Приклади базисів.

15. Координати вектора у заданому базисі.

16. Ізоморфізм лінійних просторів. Теорема про ізоморфізм двох лінійних просторів.

17. Базис та розмірність лінійного підпростору. Співвідношення між базисами лінійного простору та лінійного підпростору.

18. Лінійний многовид. Теорема про лінійний многовид.

19. Дії з лінійними підпросторами: сума, об’єднання та перетин лінійних підпросторів.

20. Формула Грасмана.

21. Пряма сума лінійних підпросторів. Теореми про пряму суму лінійних підпросторів. Проекція вектора на лінійний підпростір паралельно іншому лінійному підпростору.

22. Скалярний добуток у дійсному лінійному просторі. Евклідів простір. Приклади скалярного добутку в евклідовому просторі.

23. Наслідки з аксіом скалярного добутку. Матриця Грама в евклідовому просторі.

24. Нерівність Коші- Буняковського в евклідовому просторі. Довжина вектора.

25. Нерівність трикутника. Відстань між двома векторами. Кут між векторами.

26. Ортогональність векторів. Ортогональні та ортонормовані системи векторів. Скалярний добуток в ортонормованому базисі евклідового простору.

27. Процес Штурма ортогоналізації системи векторів.

28. Ізоморфізм евклідових просторів.

29. Скалярний добуток в комплексному лінійному просторі. Унітарні простори. Приклади скалярного добутку в унітарних просторах.

30. Наслідки з аксіом скалярного добутку в унітарному просторі.

31. Нерівність Коші- Буняковського в унітарному просторі. Матриця Грама в унітарному просторі. Скалярний добуток в ортонормованому базисі унітарного простору.

32. Ортогональне доповнення до лінійного підпростору. Теореми про ортогональне доповнення. Властивості ортогонального доповнення.

33. Ортогональна проекція вектора на лінійний підпростір. Ортогональна складова вектора до лінійного підпростору. Відстань між множинами.

34. Відстань між вектором та лінійним підпростором. Кут між вектором та лінійним підпростором. Теорема про розкладання вектора на ортогональну проекцію та ортогональну складову.

35. Визначення метрики на множині. Метричний простір.

36. Границя нескінченної послідовності елементів. Нескінченна послідовність елементів, що збігається. Теореми про збіжність нескінченної послідовності елементів.

37. Куля в метричному просторі. Обмежені множини. Гранична точка множини. Замикання множини. Замкнуті множини. Замкнута куля.

38. Фундаментальна послідовність елементів, її обмеженість та збіжність. Нескінченна послідовність вкладених куль. Повнота метричного простору. Приклади повних метричних просторів.

39. Норма в лінійному просторі. Нормований простір. Приклади нормованих просторів. Евклідова норма.

40. Зв’язок між метричними та нормованими просторами. Метрика та норма в унітарному просторі.

41. Лінійний функціонал (лінійна форма). Коефіцієнти лінійного функціоналу. Лінійний простір лінійних функціоналів.

42. Білінійний функціонал (білінійна форма). Матриця білінійної форми. Симетричні та антисиметричні білінійні функціонали.

43. Полілінійний функціонал. Абсолютно симетричні та антисиметричні полілінійні функціонали.

44. Визначення перестановки. Непорядок в перестановці. Приклади перестановок та кількість непорядків у них.

45. Визначник квадратної матриці. Умова нормування визначника. Кількість доданків визначника n-го порядку.

46. Властивості визначників.

47. Мінори елементів матриці n-го порядку та їх алгебраїчні доповнення. Метод розкриття визначника за елементами певного рядка або певного стовпчика.

48. Теорема Лапласа.

49. Метод обчислення визначника n-го порядку через приведення матриці визначника до трикутного вигляду. Приклад.

50. Метод виділення лінійних множників при обчисленні визначників n-го порядку. Визначник Вандермонда.

51. Метод рекурентних співвідношень при обчисленні визначників n-го порядку. Приклад.

52. Метод представлення визначника у вигляді суми визначників при обчисленні визначників n-го порядку. Приклад.

53. Метод зміни елементів визначника при обчисленні визначників n-го порядку. Приклад.

54. Системи лінійних рівнянь. Термінологія. Матриця системи та розширена матриця системи. Сумісні та визначені системи лінійних рівнянь.

55. Теорема Крамера та формули Крамера.

56. Обернена матриця. Теореми про обернену матрицю. Способі побудови оберненої матриці.

57. Ранг матриці. Базисний мінор. Перетворення, які не змінюють ранг матриці.

58. Теорема про базисний мінор.

59. Однорідні системи лінійних рівнянь. Теореми про роз’язки однорідної системи лінійних рівнянь. Лінійний підпростір розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь, його розмірність.

60. Спосіб побудови базису лінійного підпростору розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь.

61. Неоднорідні системи лінійних рівнянь. Теорема Кронекера- Капеллі.

62. Теорема про загальний розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь.

63. Лінійний многовид розв’язків неоднорідної системи лінійних рівнянь. Спосіб задання лінійного многовиду розв’язків неоднорідної системи лінійних рівнянь.

64. Метод Гауса розв’язання неоднорідної системи лінійних рівнянь. Альтернатива Фредгольма.

65. Квадратична форма, що відповідає даній білінійній формі. Білінійна форма, полярна до даної квадратичної форми.

66. Додатно (від’ємно) визначена квадратична форма. Канонічний вигляд квадратичної форми. Нормальний вигляд квадратичної форми.

67. Метод Лагранжа приведення квадратичних форм до канонічного вигляду.

68. Метод Якобі приведення квадратичних форм до канонічного вигляду.

69. Критерій Сильвестра.

70. Закон інерції квадратичних форм.