Алгебра / Вопросы_2

Определение линейного оператора. Примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами.

Связь линейных операторов с матрицами. Закон умножения матриц.

Ядро и образ линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора.

Невырожденный линейный оператор. Обратный оператор и его свойства. Инвариантные линейные подпространства линейного оператора.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Их существование и нахождение. Характеристический многочлен линейного оператора. Спектр линейного оператора.

Матрица и оператор перехода из одного базиса в другой.

Преобразование координат вектора при изменении базиса.

Преобразование коэффициентов линейных форм при изменении базиса.

Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса.

Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса

Последовательные преобразования при изменении базиса.

Линейные формы в унитарном пространстве. Теорема о специальном представлении линейных форм.

Полуторалинейные формы в унитарном пространстве. Теоремы о специальном представлении полуторалинейных форм.

Связь между матрицей полуторалинейной формы и матрицей линейного оператора.

Сопряженный оператор и его свойства.

Эрмитовы (самосопряженные) операторы. Теорема о спецальном представлении линейного оператора.

Коммутирующие операторы.

Собственные значения и собственные векторы эрмитового оператора.

Норма линейного и эрмитового оператора.

Свойства эрмитовых операторов (две теоремы).

Теоремы о минимальном и максимальном собственных значениях эрмитового оператора.

Теорема о собственном базисе эрмитового оператора. Минимаксное свойство собственных значений эрмитового оператора.

Проектор. Свойства проекторов.

Спектральное разложение эрмитового оператора. Теорема Гамильтона-Кэли.

Положительные операторы. Положительно определённые операторы. Корень ^-й степени из оператора.

Полуторалинейные эрмитовы формы. Теоремы о полуторалинейных эрмитовых формах.

Квадратичные формы в унитарном пространстве. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Приведение пары квадратичных форм к каноническому виду.

Унитарные операторы. Свойства унитарных операторов. Необходимое и достаточное условие унитарности оператора.

Нормальные операторы. Диагонализуемость матрицы нормального и унитарного операторов.

Ортогональные операторы. Необходимое и достаточное условие ортогональности линейного оператора. Ортогональные матрицы.

Одномерное ортогональное преобразование. Двумерное ортогональное преобразование. Общий вид произвольного ортогонального оператора.

Экстремальные свойства квадратичной формы.

Принцип Рэлея.

Определитель Грамма. Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Взаимные базисы. Ковариантные и контравариантные координаты векторов.

Формулы Гиббса. Формулы связи для взаимных базисов.

Преобразования взаимных базисов и формулы связи.

Преобразование ковариантных и контравариантных координат векторов при изменении базиса.

Понятие тензора. Ранг тензора. Формула преобразования тензора.

Примеры тензоров (нуль- тензор, матрица билинейной формы как тензор 2-го ранга).

Примеры тензоров (символ Кронекера- Капелли, матрица линейного оператора как тензор 2-го ранга).

Основные операции над тензорами.

Афинные ортогональные тензоры. Операции над афинными ортогональными тензорами.

Признак тензорности величины. Признак тензорности величины на примере символа Кронекера- Капели.

Свойства симметрии тензоров. Связь между тензорами второго ранга в трёхмерном евклидовом пространстве и векторами. Связь между тензорами второго ранга в трёхмерном евклидовом пространстве и поверхностями второго порядка.

Псевдотензоры. Примеры псевдотензоров.

Алгебраический символ Леви-Чивита. Свойства символа Леви- Чивита. Свёртка двух символов Леви- Чивита по индексам.

Связь тензоров 2^-го ранга с матрицей линейного оператора и с определителями.

Тензорное поле. Дифференцирование тензорного поля.

Дифференциальные операции 1^-го порядка. Дивергенция тензорного поля.

Дифференциальные операции 1^-го порядка. Ротор тензорного поля.

Дифференциальные операции 2^-го порядка для тензорных полей. Лапласиан, дивергенция ротора и ротор ротора тензорного поля.

Интегральные формулы тензорного анализа. Поток тензорного поля через поверхность.

Интегральные формулы тензорного анализа. Формула Гаусса-Остроградского для тензорных полей.

Интегральные формулы тензорного анализа. Формула Стокса для тензорных полей.

Определение группы. Абелева группа. Подгруппа. Примеры.

Группа симметрий ромба. Таблица Кэли.

Группа самосовмещений правильного многоугольника (на примере треугольника).

Перестановка. Группа перестановок. Таблица Кэли для группы перестановок трех элементов.

Группа вычетов по модулю 2. Группа ортогональных преобразований одномерного евклидового пространства. Циклическая группа.

Свойства групп. Левый нейтральный элемент. Левый обратный элемент.

Изоморфизм групп. Автоморфизм. Примеры.

Произведение подмножеств группы. Смежные классы. Свойства смежных классов.

Нормальные делители группы. Произведение смежных классов нормального делителя.

Примеры построения смежных классов (группа корней 6-ой степени из 1; группа целых чисел).

Гомоморфизмы групп. Эндоморфизм. Гомоморфный образ группы.

Фактор-группа. Примеры фактор- группы.

Интервал между двумя событиями. Преобразования Галилея и Лоренца. Времениподобные, изотропные и пространственноподобные вектора.

Псевдоевклидово пространство. Преобразование Лоренца псевдоевклидового пространства. Группы Лоренца.