Министерство образования и науки украины

Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина

Н.Р. Беляев

ВЫСШАЯ АЛГЕБРА

Часть II

Конспект лекций для студентов физико-технического факультета

Харьков-2004

Линейные и полуторалинейные формы

в унитарном пространстве

§1. Специальное представление линейных форм

Пусть V– унитарное пространство. ПустьxVf(x)C, такое что:

1) f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂);

2) f(x) = f(x).

Тогда говорят, что из VвCзадан линейный функционалfили линейная формаf(fL(V,C)).

T.ПустьfL(V,C), т. е.f– линейная форма, тогда существует единственныйhV

такой, что f(x) = (x,h).

◀ Пусть {e_i} – ортонормированный базисV

xV;,

т.е. вектор hимеет координаты.

Единственность: Пустьf(x) = (x,h¹) = (x,h²)(x,h¹–h²) = 0;xV. Возьмемx=h¹–h² (h¹–h²,h¹–h²) = 0, т.е.h¹=h²▶

Примечание:в вещественном пространстве теорема и ее доказательство также справедливы, но в доказательстве не ставится знак комплексного сопряжения.

§2. Специальное представление полуторалинейных форм

Пусть x,уV В(х,у)Стакое, что

;

.

Тогда говорят, что в унитарном пространстве задана полуторалинейная форма В(x,y).

(В евклидовом пространстве полуторалинейная форма становится билинейной).

Выберем в Vбазис {e_i}.

уV .

Действие формы В(x,y) однозначно определенно если известны элементыb_ij. МатрицаВс элементамиb_ij, называется матрицей полуторалинейной формы.

Тº. ПустьВ– полуторалинейная форма вV. Тогда существует единственный

линейный оператор АL(V,V) такой, чтоВ(x,y) = (x,Ay).

◀ . Оказывается

, т.е.yVhV. Таким образом, определен операторh=Ay.

Линейность:

(x,A(₁y₁+₂y₂)) =B(x,₁y₁+₂y₂) =B(x,y₁) +B(x,y₂) =(x,Ay₁) +(x,Ay₂) =

= (x, ₁Ay₁) (x, ₂Ay₂) = (x, ₁Ay₁+ ₂Ay₂), т.е. А(₁y₁+₂y₂) =₁Ay₁+₂Ay₂.

Единственность:

Пусть B(x, y) = (x, A₁y) = (x, A₂y), тогда (x, A₁y – A₂y) = 0  A₁y = A₂y уV, т.е. A₁ = A₂ ▶

Тº. ПустьВ– полуторалинейная форма в V. Тогда существует единственный

линейный оператор АL(V,V) такой, чтоB(x,y) = (Ax,y).

◀ хV или, что тоже определен операторАтакой, чтоh=Ax. При этом (A(₁х₁+₂х₂),у) =В(₁х₁+₂х₂,у) =₁В(х₁,у) + +₂В(х₂,у) =₁(Ах₁,у) +₂(Ах₂,у) = (₁Aх₁+₂Aх₂,у) =A(₁х₁+₂х₂) =₁Aх₁+₂Aх₂ т.е. операторАлинейный.

Его единственность доказывается как в предыдущей теореме ▶

Примечание:в вещественном пространстве теорема и ее доказательство также справедливы, но в доказательстве не ставится знак комплексного сопряжения.

Тº. ЕслиB(x,y) – полуторалинейная форма с матрицейВиА– линейный оператор

такой, что B(x,y) = (Аx,y), то в ортонормированном базисе матрицаВ^Тсовпадает с

матрицей линейного оператора А.

◀ Пусть {e_i} ортонормированный базисV. Тогда

▶

Тº. ЕслиB(x,y) – полуторалинейная форма с матрицейВиА– линейный оператор

такой, что B(x,y) = (x,Аy), то в ортонормированном базисе.Доказать самостоятельно.

Примечание: ЕслиА₁– оператор из 1^йтеоремы о спец. представлении и А₂– из второй, тоА₁=.