§13. Линейные представления групп. Терминология

D

ef:Линейным представлением группыGв конечномерном евклидовом пространствеЕⁿназывается такое отображениеf, посредством которогоaG T_a– линейный оператор пространстваЕⁿ так, чтоa₁,a₂G выполнено соотношение:T(a₁,a₂) =. Т.е. осуществляетгомоморфизм группы G на некоторое подмножество линейных преобразований.

Используется следующая терминология: Еⁿ– пространство представления; dimЕⁿ– размерность представления; базис вЕⁿ – базис представления.

Сам гомоморфный образ f(G) группыGтакженазывается представлением группы G в пространстве представлений.

В дальнейшем: n-мерное линейное представление группы будемназывать(для кратности)представлением этой группы.

О

бозначениепредставления группы :D(G).

Различные представления группы : D^()(G).

D^()(y) – это линейный оператор:f:gD^()(y).

Представления игруппыGв одном и том же пространственазываются эквивалентными, еслиС– линейный оператор вЕⁿтакой, что

gG:=C^–1С.

Тривиальное представлениегруппыG: гомоморфизмGна единичный элемент группыGL(n).

Если f:GG₁, гдеG₁подгруппа вGL(n) и еслиf– изоморфизм, то представлениеназывается точным. (Не у всякой группы есть точноеn-мерное представление для заданногоn).

Например: У О(10) нет точного одномерного представления: группаО(1) – абелева, а группаО(10) не абелева.

§14. Приводимые и неприводимые представления

Def: ПодпространствоЕназывается инвариантным для представленияD(G), если оно инвариантно для всякого оператора изD(G).

Очевидно, что на инвариантном подпространстве ЕпредставленияD(G) индуцируется некоторое представление, которое, вообще говоря, не сводится кD(G) еслиЕЕⁿ.

Представление называется частью представленияD(G).

Поясним теперь понятие представления.

Пусть, например, все матрицы некоторого трехмерного представления D(G) имеют вид. Нетрудно проверить, что при умножении матриц такого типа их структура сохраняется, причеми(т.е. частиА₁иА₃перемножаются автономно).

Отсюда следует, что А₁есть двумерное представление группыG, аА₃есть одномерное представление этой же группы.

В таких случаях говорят, что представление D(G)приводимо.

Если все матрицы (речь идет о квадратных матрицах ) имеют вид, гдеА₁иА₂квадратные матрицы порядковn₁иn₂ , то матрицыА₁иА₂образуют представления, сумма размерностей которыхn₁+n₂ =n.

В этом случае представление называютвполне приводимым.

И в заключение: Представления D(G) называется неприводимым, если у этого представления существуют лишь два инвариантных подпространства:Еⁿи {θ}.

Роль неприводимых представлений заключается в том, что любое представление может быть выражено через неприводимые.

§15. Характеры

Пусть D(G) –n-мерное представление группыG, иD_ij(g) – матрица оператора, отвечающегоgG.

Характером элемента gG в представленииD(G)называется число(g) =D_ij(g) = =D₁₁(g) +D₂₂(g) + …+D_nn(g), т.е. характером элементаgGявляется след оператораD(G). Отсюда ясно, что характер любого элемента не зависит от базиса представления и поэтому является инвариантом.

Итак: любому gGпредставленияD(G) отвечает число – характер этого элемента.

Вопрос: каким элементам группы отвечают одинаковые характеры?

Def: ЭлементbGназывается сопряженным к элементуaG, еслиuGтакой, чтоuau^–1=b.

Для сопряженных элементов выполнено:

1.асопряжен самому себе.◀ еае^–1=а▶

2. Еслиbсопряжен ка, иссопряжен кb, тоссопряжен ка.

◀ uau^–1=b u^–1uau^–1u=u^–1buа =u^–1buа =vbv^–1▶

3. Еслиbсопряжен ка, иссопряжен кb, то с сопряжен ка.

◀ uau^–1 = b, vbv^–1 = c  c = v(uau^–1)v^–1 = (vu)a(u^–1v^–1) = = (vu)a(vu)^–1 = waw^–1 ▶

Все элементы группы разобьем на классы взаимно-сопряженных элементов. Два таких класса либо совпадают, либо не имеют общих элементов.

Тº. Характеры элементов принадлежащих к одному и тому же классу сопряженных элементов равны друг другу.Доказать самостоятельно.

Тº. Характеры элементов для эквивалентных представлений совпадают.Доказать самостоятельно.

Пусть Gразбита на классы сопряженностиk₁,k₂, …,k_v. Тогда каждомуk_iможно поставить в соответствие число_i– характер элементовk_i в представленииD(G).

Тогда представление D(G) может быть описано с помощью набора характеров₁,₂, …,_v, который можно рассматривать, как координаты вектора в евклидовом пространствеЕ^v. При этом различным представлениям соответствуют, вообще говоря, различные векторы.

Указанный геометрический подход позволяет во многих случаях решать важные вопросы теории представления групп.