Линейные операторы в евклидовом пространстве §1. Общие замечания и напоминания

Def: ОператорА, действующий в вещественном линейном пространстве называется линейным, еслиx,yV,R

1) A(x + y) = Ax + Ay

2) A(x) = A(x)

Def: ВекторxV,x0 называется собственным вектором оператораА, еслиRтакое, чтоAx=xипри этом называется собственным значением оператораА.

1. Собственные значения оператораАявляются корнями характеристического уравнения det(A–Е) = 0. Наоборот, вообще говоря, неверно. Корень характеристического уравнения является собственным значением оператораАтолько в случае, когда этот корень вещественен.

Def: ОператорА^*называется сопряженным к операторуА, еслих,yV, (Ax,y) = (x,A^*y).

2. Каждый линейный операторАимеет единственный сопряженный оператор, который также является линейным.

При доказательстве этой теоремы в комплексном пространстве используется понятие полуторалинейной формы. В вещественном пространстве используется понятие билинейной формы.

Def: ФункцияВ(x,y) называется билинейной формой вV, еслиx,yV,,R:

1) B(₁x₁ + ₂x₂, y) = ₁B(x₁, y) + ₂B(x₂, y)

2) B(x,₁y + ₂y₂) = ₁B(x, y₁) + ₂B(x, y₂)

3. Для любой билинейной формыВ(x,y) существует линейный операторАтакой, чтоВ(x,y) = (Ax,y).

Aналогом эрмитовых форм в вещественном пространстве служат симметричные билинейные формы.

Def: Билинейная формаВ(x,y) называется симметричной, еслиB(x,y) =B(y,x). Билинейная формаВ(x,y) называется кососимметричной, еслиB(x,y) = -B(y,x).

4. Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососиметричной билинейной формы.

5. Для того, чтобы билинейная формаB(x,y), заданная в вещественном евклидовом пространствеV, была симметричной необходимо и достаточно, чтобы операторАв представленииB(x,y) = (Ax,y) был самосопряженным.

Т°.Все корни характеристического многочлена самосопряженного линейного

оператора Ав евклидовом пространстве – вещественны.

◀ Пусть =+i – корень характеристического уравнения det(A–E) = 0. Пусть (a_ik) – элементы матрицы оператора в некотором базисе {e_ik}, (a_ikR). Будем искать решение системы, где=+i. Система имеет решениеi=1, 2, 3, …,n, ибо определитель системы равен 0. Пусть решение,k= 1, 2, 3, …,n. Подставляя в систему и приравнивая вещественные и мнимые части выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, имеем:,

, или в векторном виде.

Умножим скалярно первое уравнение на y, а второе наx :

.

Учитывая, что (Ax,y) = (x,Ay) (ведьА– самосопряженный) имеем

(x, y) – (y, y) = (x, y) + (x, x), т.е. ((x,x) + (y,y)) = 0= 0, т.е.=R▶

6. У каждого линейного самосопряженного оператораАвn– мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов.

7. В базисе из нормированных ортогональных собственных векторов матрица линейного самосопряженного оператораАимеет диагональный вид и по диагонали стоят собственные значения.

8. В произвольном ортонормированном базисе матрица самосопряженного оператора будет симметричной (А^Т =А). Верно и обратное. Этим вещественный случай отличается от комплексного: в комплексном случае операторАявляется эрмитовым, когда матрица этого оператора эрмитова (т.е.).