§2. Квадратичные формы в унитарном пространстве

Def: Квадратичной формой называютВ(х,х), соответствующую полуторалинейной формеВ(х,у).

Тº. ПустьВ(х,у) – эрмитова форма вn-мерном унитарном пространствеV. Тогда вV

существует ортонормированный базис {e_k} и существуют вещественные числа λ_k,

что для хVв базисе {e_k}:

◀ В(х,у) – эрмитоваВ(х,у) = (Aх,у), гдеА– эрмитов оператор.А– эрмитов{e_k} – собственный ортонормированный базис и λ_k– собственные числа оператораА

;.

Тогда: ▶

И еще одна теорема: о приведении пары квадратичных форм к каноническому виду:

Тº. ПустьА(х,у) иВ(х,у) – эрмитовы формы в линейном пространствеVи, кроме

того, хV,х,В(х,у) > 0. Тогда вVсуществует базис {e_k}, в котором:

.

◀ В(х,у) – эрмитова,В(х,у) > 0,хV,х. Из этих условий: В линейном пространствеVможно ввести скалярное произведение векторовхиупо правилу: (х,у) =В(х,у).

После введения скалярного произведения пространство Vстанет унитарным и в нем, согласно предыдущей теореме, существует ортонормированный базис {e_k} и числа λ_k, что в этом базисе.

С другой стороны, так как базис ортонормированный, то и

В(х,х) = (х,х), т.е.В(х,х) =▶

Унитарные и нормальные операторы §1. Унитарные операторы

Def: Линейный операторUL(V,V) называется унитарным, если

х, yV (Ux,Uy) = = (x,y) .

1Из условия унитарности: ||Ux|| = ||x||, ||U|| = 1.

2Если λ – собственное значение унитарного оператора, то | λ | =1.

◀ Пусть е– собственный вектор с собственными значениями λ и ||x|| = 1. Тогда

| λ | =| λ | || e|| = ||e|| = ||Ue|| = ||e|| =1▶

Тº. Чтобы линейный операторUL(V,V) был унитарным необходимо и достаточно,

чтобы U^*=U^–1.

◀ Необходимость: ПустьU– унитарный(Ux,Uy) = (x,y)(x,U^*Uy) = (x,y)

 (x, (U^*U Е)у) = 0U^*Uy=Еу U^*U =ЕU^* =U^1.

Достаточность: ПустьU^* =U^1 U^*U=Е(х,у) = (х,U^*Uу) = (Ux,Uy), т.е.U– унитарный▶

Примечание:U^* =U^1 U^*U=UU^*=Е(Ux,Uy) = (x,y).

В примечании приведено две эквивалентные формы записи условия унитарности оператора.

Нетрудно убедиться в том, что произведение унитарных операторов – унитарный оператор.

Def: Операторlназывается унитарно подобнымоператоруL, если существует унитарный операторU такой, чтоl=U^*LU,

Напомним, что –называется коммутатором операторовАиВ. При этом, если= 0, тоАиВкоммутирующие операторы.

Обозначим =U^*.

Для унитарно подобных операторов выполняются следующие соотношения:

1) [L, M] = N  [l, m] = n; 2) L = L^*  l = l^*;

3) L=l=; 4) (L₁,₂)(l₁,₂).

§2. Нормальные операторы

Def: Линейный операторА называется нормальным, еслиА^*А=АА^*.

1Из определения: любой унитарный оператор является нормальным.

Тº. ПустьА– нормальный оператор. ТогдаАиА^*имеют общий собственный

вектор е, такой, что ||e|| = 1,Ae=e,A^*e=.

◀ Пусть λ – собств. ззначение оператора А. ОбозначимR_λ– собственное подпространство оператораА, т.е. множествохV,Ах=х.

Пусть хR_λ,Ах=х. ТогдаА(A^*х) = (АA^*)х = (A^*А)х=A^*(Ах) =A^*(х) =(A^*х).

Получили А(A^*х) =(A^*х),A^*хR_λ. Итак,хR_λ A^*хR_λ, т.е. операторA^*действуют изR_λвR_λ. СледовательноеR_λ, ||e|| = 1, такой, чтоA^*e=e(собственный векторА^*), ноеR_λ(собственный векторА);Ах =e;A^*e =e. При этом=(e,e) = (e,e) = (Ae,e) = (e,A^*e) = (e,e) =(e,e) =▶

Тº. ПустьА– нормальный оператор. Тогда существует ортонормированный базис

{e_k}, состоящий из собственных векторовАиА^*.

◀ 1) по предыдущей теореме е₁V, ||e₁|| = 1 и являющийся общим собственным вектором операторовАиА^*с собственными значениями₁,соответственно.

Пусть V₁=ℒ^(e₁)V=ℒ(e₁)V₁. Это значит, что еслиxV₁ xe₁.

xV₁  (Ax, e₁) = (x, A^*e₁) = (x, e₁) = ₁(x, e₁) = 0;

(A^*x, e₁) = (x, Ae₁) = (x, ₁e₁) = (x, e₁) = 0, т.е. Ax,A^*xV₁.

Следовательно операторы АиА^*действуют вV₁.

2

) ТогдаАиА^*имеют вV₁общий собственный векторе₂(е₂V₁,е₂е₁, ||e₂|| = 1) с собственными значениями₂,соответственно. ПустьV₂=ℒ^(e₁,e₂)V=ℒ(e₁,e₂)V₂, Это значит, что еслиxV₂, тохе₁,хе₂.

xV₂  (Ax, e₁) = (x, A^*e₁) = (x, e₁) = ₁(x, e₁) = 0;

(Ax, e₂) = (x, A^*e₂) = (x, e₂) = ₂(x, e₂) = 0;

(A^*x, e₁) = (x, Ae₁) = (x, ₁e₁) = (x, e₁) = 0;

(A^*x, e₂) = (x, Ae₂) = (x, ₂e₂) = (x, e₂) = 0,

т.е. Ax,A^*xV₂.

Следовательно операторы АиА^*действуют вV₂.

3) ….

Продолжая приведенные рассуждения мы построим ортонормированный базис {e_k} из собственных векторов общих дляАиА^*▶

Следствие 1: Для нормального оператораАсуществует базис в которомАимеет

диагональную матрицу.

Следствие 2:Унитарный оператор имеет полную ортонормированную систему

собственных векторов.

И, наконец:

Тº.Если операторАL(V,V) имеет ортонормированный базис из собственных

векторов, то этот оператор – нормальный. Доказать самостоятельно.