§5. Спектральное разложение эрмитового оператора. Теорема Гамильтона – Кэли

Пусть А– эрмитов оператор;₁₂…_nсобственные значения этого оператора и {е₁,е₂, …,е_m} – соответствующий им ортонормированный собственный базис. ТогдаxV;Ax=.

Def: ОператорР_k:P_kx= (x,e_k)e_k, называется оператором-проектором или просто проектором на одномерное пространство, порожденное вектором {e_k}.

Свойства проекторов:

1.P_k– самосопряженный (эрмитов).

◀ (P_kx,y) = ((x,e_k)e_k,y) = (x,e_k)(e_k,y) =(x, e_k) = (x, (y,e_k)e_k) = (x,P_ky) ▶

2.=P_k.◀ =P_k(P_kx) =P_k(x,e_k)e_k = (x,e_k)Pe_k= (x,e_k)(e_k,e_k)e_k= (x,e_k)e_k=P_kx ▶

3.P_kP_j = 0, (xj).◀ P_kP_j x =P_k(P_j x) =P_k(x,e_j)e_j = (x,e_j)P_ke_j = (x,e_j)e_k = 0▶

Для операторов-проекторовP_k имеем:

.

Такое представление эрмитового оператора Аназывается его спектральным разложением . Обратим еще внимание:.

Def: ПустьР(λ) – произвольный полиномр^й– степени, т.е.. Тогда определим полином от оператора слеующим образом: .

Тº. (Гамильтона-Кэли). Эрмитов операторАявляется корнем своего

характеристического полинома: если .

◀ ▶

§6. Положительные операторы. Корень m-й степени из оператора

Def: Эрмитов операторАназывается положительным, еслихV, (Ax,x)0. Если, кроме того, из (Ax,x) = 0x=, тоАназывают положительно определенным оператором (Обозначается:A0,A> 0 соответственно).

Тº. Каждое собственное значение положительного (положительно определенного)

оператора неотрицательно (положительно).

◀ Если λ – собственное значение А, тоxтакой, что ||x|| = 1, (Ax,x) =(было доказано), отсюда следует утверждение теоремы▶

Def: Корнемm-й степени из оператораАназывается такой операторВ, чтоВ^m=A.

Тº. ЕслиА– положительный эрмитов оператор (А0), тоmNсуществует

положительный эрмитов оператор

◀ Пусть _kсобственные значенияА(k=1, 2, 3,…,n) и {e_k}ортонормированный собственный базис,(спектральное разложение) и при этом_k0. Рассмотрим оператор. Изучим свойства оператораВ. Оператор В:

а) эрмитов:

;

б) положителен:

;

в) . Теорема доказана.▶

Примечание: В ортонормированном базисе {e_k} из собственных векторов матрица оператораАи матрицаА^1/mимеют вид:,

.

Эрмитовы Формы §1. Полуторалинейные эрмитовы формы

Def: Полуторалинейная формаВ(х,у) называется эрмитовой, еслиx,yV:.

Мы уже отмечали: В(х,у) – полуторалинейные формыА– линейный оператор такой, чтоВ(х,у) = (Ах,у).

Тº. Для того, чтобы полуторалинейная формаВ(х,у) была эрмитовой необходимо и

достаточно, чтобы оператор А(В(х,у) = (Ах,у)) был эрмитовым.

◀ Достаточность: ПустьА– эрмитов, т.е.А=А^* В(х,у) = (Ах,у) = (х,Ау) ==

, т.е. формаВ(х,у) – эрмитова.

Необходимость: Пусть форма эрмитова(Ах,у) =В(х,у) === (х,Ау), т.е.

А– эрмитов▶

Тº. Для того, чтобы формаВ(х,у) была эрмитовой необходимо и достаточно, чтобы

В(х,х) была вещественнойхV.

◀В(х,у) – эрмитоваА– эрмитов.А– эрмитовА(х,у)R▶

предыдущая доказано ранее

теорема