§3. Норма оператора

Def: Нормой линейного оператораAL(V,V) называется число ||A|| определяемое равенством ||A|| =.

Из определения нормы линейного оператора возникает очевидное и очень полезное неравенство ||A||||A||||х|| .

Т°. Для эрмитового оператораА: ||A|| =.

◀ Обозначим =.

1) Вспомним неравенство Коши-Буняковского (х,у)²(х,х)(у,у) запишем |(х,у)|||x||||y||

 |(Aх,x)|||Ax||||x||||Ax||||x||||x|| = ||A||||x||², т.е. |(Aх,x)|||A||||x||²и пусть ||x|| = 1.

|(Aх,x)|||A||

т.е. ||A|| (*)

2) Отметим: |(Az,z)||(Az/||z||, z/||z||)|||z||²||z||²sup|(Az/||z||,z/||z||)|,

т.е. |(Az,z)|||z||²и теперь рассмотрим разность:

(A(х+у),х+у) – (А(х–у),х–у) = (Ах,х) + (Ах,у) + (Ау,х) + (Ау,у) – (Ах,х) + (Ах,у) + (Ау,х) – (Ау,у) = 2(Ах,у) + 2(Ау,х) = 2((Ах,у) + (у,Ах)) = 2((Ах, у) + ()) = 4Re(Ах,у), т. е. 4Re(Ах,у) = (A(x+y),x+y) – (А(х–у),х–у).

Тогда:

4|Re(Ах,у)| = |(A(x+y),x+y) – (А(х–у),х–у)||(A(x+y),x+y)| + |(А(х–у),х–у)|

 ((x+y,x+y) + (х–у,х–у)) =((x,x) + (y,y)+ (х,у)+ (y,x) + (x,x) +(y,y) – (x,y) – (y,x)) =

= 2((x,x) + (y,y)) = 2(||x||²+ ||y||²). Отсюда, при ||x|| = ||y|| = 1

4|Re(Ах,у)|4| Re(Ах,у)|.

Положим теперь (очевидно ||y|| = 1):

.

Тогда , т.е. ||А||.

В 1) и 2) доказано, что ||А||и ||А||, т.е. ||А|| ==▶

§4. Еще о свойствах эрмитового оператора

Т°. Чтобы линейный операторАL(V,V) был эрмитов необходимо и достаточно,

чтобы Im(Ax,x) = 0.

◀ Прежде всего, отметим, что АL(V,V)A_R,A_IL(V,V) такие чтоA=A_R+iA_Iи, кроме тогоА_R иА_I– эрмитовы. Следовательно, (A_Rx, x)R и (A_Ix, x)R, т.е. (Ax, x) = =.

Теперь:

Необходимость.ПустьА=А^*(Ах,х)RIm(Ах,х) = 0.

Достаточность.Пусть Im(Ах,х) = 0(A_Ix, x) = 0||A_I|| = 0A_I = 0

 A = A_R  A_R – эрмитов ▶

Т°. ЕслиА– эрмитов оператор и λ – его собственное значение, тохV, ||х|| = 1, и

 = (Ах,х).

◀ Пусть z -собственный вектор оператораА, соответствующий собственному значению λ:

Аz = λz = (Ах,х),

где х– собственный вектор и ||х|| = 1▶

Следствие: ПустьА– эрмитов оператор иm=. Тогда для собственных значений λ оператораАсправедливоmM.

Т°. ЕслиА– самосопряженный (эрмитов) оператор иxV; (Ax,x)0, то

||A|| =_max

◀ . Обозначим= (Ax₀,x₀) = ||A||. Рассмотрим

||(A –Е)х₀||²= (Ax₀ –x₀,Ax₀ –x₀) = (Ax₀,Ax₀) –(х₀,Ах₀) –(Ax₀,x₀) +(х₀,х₀) =

== (Ax₀,Ax₀) –(Ах₀,х₀) –(Ах₀,х₀) +²(х₀,х₀) ==

= ||Aх₀||²– 2||A||²+ ||A||²= 0, т.е. ||(A –Е)х₀|| = 0(A –Е)х₀ = 0Aх₀=х₀, т.е.– собственное значение▶

Продолжаем изучение спектральных свойств эрмитовых операторов.

Т°. Пусть для эрмитового оператораАm=; тогдаmи

М– наименьшее и наибольшее собственное значение оператораА.

◀ Достаточно доказать, что mиМ– собственные значения оператораА.

1) Рассмотрим оператор B=A–mEВ– эрмитов(Вх,х) = (А(х),х) –m(х,х)0. Т.е. В– эрмитов, (Bx,x)0||B|| =_max, но, т.е. дляВ:_max =M–mx₀Bx₀= (M–m)x₀ (A –mE)x₀ =Mx₀ –mx₀ Ax₀ –mx₀= =Mx₀ –mx₀Ax₀ =mx₀Mx₀ – собственное значение оператораА.

2) Рассмотрим В= –АВ– эрмитов.–m – собственное значениеВ

 хВх= –m –Ах= –mх  Ах=mх, т.е.m – собственные значенияА▶

Тº(о собственном базисе эрмитового оператора). ЕслиА– эрмитов оператор:АL(V,V) вn-мерном унитарном пространстве, то вVсуществуетn-линейно-независимых, попарно ортогональных и единичных собственных векторах.

◀ 1) А– эрмитов,АL(V,V) =_max =₁ =ие₁ – единичный собственный вектор с собственным значениям₁: Ае₁ =₁е₁. ОбозначимV₁ =ℒ^(е₁). При этомV =V₁ℒ(е₁). ОказываетсяV₁– инвариантно относительноА. В самом деле

хV₁: (Ах, е₁) = (х,Ае₁) =₁(х,е₁)0, т.е. (Ах, е₁) = 0.

2) Теперь можем рассмотреть АвV₁:АL(V₁,V₁),А– эрмитов_max =₂ =

и е₂ – единичный вектор, такой, чтоАе₂ =₂ е₂ ие₂ е₁.

Рассмотрим V₂ =ℒ^(е₁,е₂). ТогдаV =V₁ℒ(е₁),V₂– инвариантно относительноА.

хV₂: (Ах, ₁е₁+₂е₂) = (х,А(₁е₁) +А(₂е₂)) =0,

Ах₁е₁+₂е₂ хV₂.

3) …

4) …

Итак, e₁, …,e_nединичные, взаимно ортогональные и собственные векторы,

т.е. в Vсуществует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператораА▶

Примечание: Договоримся, в дальнейшем, нумеровать собственные значения в порядке их убывания с учетом кратности, т.е.₁₂…_nи соответствующие им векторые₁,е₂, …,е_nобладают свойством (e_i,e_j) =_ij.

Примечание: Из доказанной выше теоремы следует:, или, гдеЕ_m=ℒ(е₁,е₂, …,е_m).

Т°(минимаксное свойство собственных значений). ПустьА– эрмитов оператор и₁₂…_nего собственные значения, тогдагдеℇ_m–множество всехm-мерных подпространств пространстваV.

Доказать cамостоятельно.