Экзаменационные задачи по курсу "высшая алгебра". Часть II

1. Найти матрицу A^*оператора сопряженного к линейному операторуAпо заданной матрице оператораAи матрице Грамма Г:

а) :; б):.

2. Найти матрицу A^*оператора сопряженного к линейному операторуAпо заданной матрице оператораAи скалярному произведению:

а) ,;

б) ,;

в) ,.

3. Оператор переводит векторыa₁,a₂, в векторыb₁,b₂, соответственно. Найти оператор A^*, если базис в котором заданы,- ортонормирован:

а) ;;

б) ;.

4. Оператор задан матрицей в базисеf₁,f₂, гдеf₁=e₁+e₂,f₂=e₁–ie₂. НайтиA^*в том же базисе.

5. Оператор задан матрицей в базисе, где. Найтив том же базисе.

6. В евклидовом пространстве полиномов степени не выше 2 со скалярным произведением (здесьикоэффициенты полиномовpиqпри) задан оператор. Найтив следующих базисах:

а) ; б).

7. В евклидовом пространстве полиномов степени не выше 2 со скалярным произведением задан оператор. Найтив следующих базисах: а); б).

8. Пусть в унитарном пространстве дифференцируемых и периодичных с периодом функций, скалярное произведение имеет вид:. Доказать, что оператор- эрмитов.

9. Установить является ли оператор самосопряженным, если операторзадан матрицей в базисе с матрицей Грамма:

а) ; б);

в) .

10. Оператор задан матрицей в базисе с матрицей Грамма. Будет ли оператор- эрмитовым?

11. Установить, является ли ортогональным оператор , действующий на векторы ортонормированного базиса по формулам:

а) ; б).

12. Установить, является ли оператор унитарным, еслидействует на векторы ортонормированного базиса по формулам:

.

13. Установить, является ли ортогональным линейный оператор, заданный в ортонормированном базисе матрицей:

.

14. Установить, является ли ортогональным оператор , если он задан матрицей в базисе, а векторывыражаются через векторы ортонормированного базиса:

а) ;

б) ;

в) .

15. Построить собственный ортонормированный базис самосопряженного оператора, который, в некотором ортонормированном базисе, задан матрицей:

а) ; б).

16. Построить собственный ортонормированный базис эрмитового оператора, который, в некотором ортонормированном базисе, задан матрицей:

а) ; б); в).

17. Построить собственный ортонормированный базис унитарного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

а) ; б); в).

18. Привести матрицу к диагональному виду.

19. Найти:

а) ,; б),; в),;

г) ,; д),; е),.

20. Установить, являются ли следующие квадратичные формы положительно определенными:

а) ;

б) .

21. Установить, при каких следующие квадратичные формы являются положительно определенными:

а) ;

б) .

22. Найти ортонормированный базис, в котором следующие квадратичные формы (заданные тоже в ортонормированном базисе) имеют диагональный вид:

а) ;

б) .

23. Привести следующие квадратичные формы к нормальному виду:

а) ;

б) ;

в) .

24. С помощью одного преобразования привести пару форм к каноническому виду:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

25. Найти базис, взаимный к данному:

а) ;

б) .

26. Вектор задан своими координатами в том же базисе, в котором заданы координаты векторов двух взаимных базисов:и. Найти ковариантные и контравариантные координаты вектора.

27. Доказать инвариантность свойства антисимметрии тензора второго ранга .

28. Используя тензорную форму записи проверить тождества:

а) ;

б) .

29. Используя тензорную форму записи, вычислить:

а) ; б); в); г);

д) ; е); ж); з).

(здесь - постоянные векторы,- радиус вектор).

30. Используя тензорную форму записи, доказать тождества:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

(здесь - векторные поля,- скалярное поле).

31. Вычислить (используя интегральные теоремы тензорного исчисления) , где- постоянные векторы,- орт нормали к поверхности, которая ограничивает объем.

32. Найти результат действия перестановок:

а) ; б);

в) ; г).

32. Возвести перестановки в степень:

а) ; б);

в) ; г).

33. Найти перестановку, обратную перестановке: .

34. Найти .

35. Найти:

а) ; б)

36. Если группа перестановокчисел, то найти все подгруппы.

37. Построить смежные классы к в, гдеи- группы корней 3^-й и 6^-йстепени из 1, соответственно.

38. Построить смежные классы к в, гдеи- группы корней 4^-й и 8^-йстепени из 1, соответственно.

39. Доказать, что - нормальный делитель группы, гдеи- группы корней 3^-й и 6^-йстепени из 1, соответственно.

40. Доказать, что - нормальный делитель группы, гдеи- группы корней 4^-й и 8^-йстепени из 1, соответственно.

41. Найти все гомоморфизмы в, гдегруппа корнейn^-йстепени из 1.

42. Найти фактор-группу , если:

а) - группа целых чисел,- подгруппа чисел, кратных заданному целому

числу ;

б) - группа всех вещественных чисел по сложению,- подгруппа целых

чисел;

в) - группа всех комплексных чисел по сложению,- группа веществен-

ных чисел тоже по сложению;

г) - группа ненулевых комплексных чисел по умножению,- группа

положительных вещественных чисел по умножению;

д) - группа ненулевых комплексных чисел по умножению,- подгруппа

чисел по модулю равных 1.

43. Найти нормальную жорданову форму матрицы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .