§7.Афинные ортогональные тензоры

Пусть — эвклидово пространство и {} его ортонормированный базис. Если поставить задачу нахождения базиса {} взаимного к базису {}, то нетрудно видеть что ортонормированный базис взаимен самому себе:=.

Тогда

Следовательно получим, что .

Т.е. в ортонормированном базисе ковариантные и контравариантные координаты вектора x совпадают.

При этом можно записать:

В ортонормированном базисе вместо формул Гиббса имеем формулу:.

Рассмотрим переход от одного ортонормированного базиса {} к другому ортонормированному базису {}.

Формулы преобразования для произвольных базисов имели вид:

;;

;;

Обозначая элементы матрицыРперехода от базиса {} к базису {} можно указанные формулы переписать в виде:

=;=;

умножая скалярно первое равенство на , а второе наполучим:

=(,)=(,)=;

Т.е. для матрицы перехода Рсправедливо соотношениеP^-1=P^Tили то же самое:PP^T=P^TP

следовательно матрица оператора перехода ортогональна.

Формулы для преобразования ковариантных и контравариантных координат вектора xимели вид:=и=. В случае ортонормированных базисов они будут иметь вид:=и=,

Т.е. и ковариантные и контравариантные координаты преобразуются с помощью одной и той же матрицы перехода Рот базиса {} к базису {}, т.е.согласованно с базисными векторами. В силу этого для ортонормированных базисов все координаты векторов ковариантны и преобразуются по одному и тому же закону:=.

В дальнейшем, в соответствии с выше сказанным, в ортонормированных базисах (т.е. при ортогональных преобразованиях) все координаты будут ковариантны, т.е. все индексы нижние.

И наконец:

Def: Аффинным ортогональным тензоромАрангаrназывается объект, который :

1) В каждом ортонормированном базисе {} евклидова пространстваопределяетсякоординатами(индексы принимают значения от1 доn).

2) Обладает свойством, что его координаты в другом ортонормированном базисе {} связаны с координатамив ортонормированном базисе {} соотношениями:

=…

В дальнейшем изложение будет вестись для аффинных ортогональных тензоров, и для простоты, в дальнейшем именно их будем именовать словом: тензор.

§8. Операции над аффинными ортогональными тензорами

Отношение равенства тензоров, операции сложения, вычитания и умножения тензоров на число определяются как операции покоординатного равенства, сложения, вычитания и умножения на число в некотором базисе. Умножение и свёртка тензоров производится, как и в случае тензоров общего вида, но при свёртке отмечается не один верхний и один нижний индексы а, естественно, два нижних.

Свёртка тензора по индексамиэто фактически умножение на тензор(Здесьтензор Кронекера).

Скалярное произведение тензоров. Часто в тензорной алгебре применяется комбинация операций умножения тензоров с последующей свёрткой по паре индексов. При этом ранг результирующего тензора будет равен (), где- ранги перемножаемых тензоров.

В частности для тензоров первого ранга (векторов) иполучаем:==++, а это просто скалярное произведение двух векторов.

По аналогии с этим простейшим случаем, комбинацию перемножения тензоров с последующей свёрткой называют скалярным или внутренним произведением тензоров.