§4. Понятие тензора

Пусть V– вещественное (не обязательно евклидово) линейное пространство (dimV=n).

Def: Тензором типа (p,q) , (pраз ковариантным,qраз контравариантным) называется геометрический объект, который:

1. в любом базисе {e_i} линейного пространстваV_nопределяетсяn^p+qкоординатами(индексы принимают значения 1, 2, …,nкаждый);

2. обладает свойством, что его координаты в базисе {e_i} связаны с координатамив базисе {e_i} соотношениями:

; (*)

издесь элементы матрицы перехода от старого базиса к новому (e_i e_i), а– элементы матрицы обратного перехода.

Число r=p+qназывается рангом тензора.

Формула (*) называется формулой преобразования тензора при изменении базиса.

Замечание: Индексыi₁i₂…i_pназываются ковариантными, аk₁k₂…k_q–контравариантными.

Отметим: Ковариантные и контравариантные координаты вектора преобразуется по формуле (*) (p= 1,q= 0 для ковариантных координат,p= 0,q= 1 для контравариантных координат).

Поэтому вектор представляет собой тензор первого ранга (1 раз ковариантный, либо 1 раз контравариантный – в зависимости от выбора типа координат этого вектора).

Отметим:Скаляр – тензор нулевого ранга – имеет одну координату, причем не имеющую индексов и не изменяющуюся при изменении системы координат.

Замечание:Нетрудно убедиться в том, что последовательный переход от {e_i} к {e_i}, а затем от {e_i} к {}, приводит к тем же результатам, что непосредственный переход от {e_i} к {} , т.е. определение тензора корректно.

Замечание: Любая система n^p+qчиселможет в данном базисерассматриваться как координаты некоторого тензораАтипа (p,q).

§5. Примеры тензоров

1.Нуль-тензор– это тензор все координаты которого, в некотором (а, следовательно, в

любом базисе) равны нулю.

2. Символ Кронекера. ТензорАтипа (1, 1) в базисе {e_i} имеет координаты.

==

Т.е. действительно можно рассматривать как тензор типа (1, 1).

3. ПустьА(x,y) – билинейная форма. Напомним, что в базисе {e_i}:A(x,y) =A(xⁱe_i,y^je_j) =

= A(e_i, e_j)xⁱy^j = a_ijxⁱy^j. Здесьa_ij– элементы матрицы билинейной формыАв базисе {e_i}.

Рассмотрим, как изменяется матрица билинейной формы при переходе к базису {e_i}.

a_ij = A(e_i, e_j) = =A(e_i, e_j) = a_ij.

Равенство a_ij = a_ij, показывает, что матрица билинейной формы представляет собой тензорАтипа (2, 0) ранга 2.

ПустьАлинейный оператор:y=Ax. В некотором базисе:=А()=А=

Т.е.=,– элементы матрицы линейного оператора в базисе {e_i}.

Рассмотрим базис {}.

=. Воспользуемся тем, что=;=.

=| умножим обе части наи просуммируем по j.

==()=.

Тогда =

Последнее равенство показывает, что матрица линейного оператора может рассматриваться как тензор Атипа (1,1) ранга 2.

§6. Основные операции над тензорами

Сложение и вычитание тензоров. Определяется для тензоров одинакового типа, как покоординатное сложение и вычитание.

Умножение тензора на число. Определяется для любых тензоров. Умножается каждая координата тензора на число.

Умножение тензоров. Определяется для любых тензоров,заданными своими координатами в некотором (общем) базисе.

Чтобы умножить тензор Ас координатамина тензорВс координатаминадо в тензореВпереименовать индексы…на, а индексынаи составить тензорDтипа (p+r,q+s) с координатами=.

Замечание: операция умножения тензоров, вообще говоря, не коммутативна:АВВА. (хотя элементы и одинаковые, но порядок их, вообще говоря, разный).

Свёртка тензора: Применяется для тензоров типа (p,q) гдеp0,q0.

Среди индексов тензора отмечается один верхний индекс и один нижний, заменяются одной буквой и производят суммирование по этому индексу согласно соглашению. Свертка тензора переводит тензор типа (p,q) в тензор типа (p-1,q-1) т.е. понижает его ранг на 2.

Замечание: Термин свертка можно применить и к паре перемножаемых тензоровАиВ, когда у одного тензора отмечается верхний индекс, а другого нижний и по этим индексам производится суммирование.

Симметрирование тензора по паре нижних индексов (или верхних).

(+)

Аналогично для пары верхних индексов.

Получаемый тензор симметричен по указанной паре индексов.

Альтернирование тензора по паре нижних индексов (или верхних).

(-)

Аналогично для пары верхних индексов.

Получаем тензор кососимметричный по указанной паре индексов.