§12. Группа Лоренца

В физике, при изучении поведения тел (частиц) в пространстве и времени, часто полезно, из наглядных соображений, пользоваться 4^х-мерным пространством векторов с координатами (ct,x,y,z)) (c– скорость света)). Такое пространство называется мировым пространством.

В этом пространстве событие изображается точкой в мировом пространстве или мировой точкой.

Частице в мировом пространстве соответствует мировая линия.

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета Киз точки (x₁,y₁,z₁) в некоторый момент времениt₁отправлен сигнал со скоростьюси этот сигнал принят в точке (x₂,y₂,z₂) в момент времениt₂. Тогда расстояние, которое этот сигнал прошел, равно:, следовательно:c²(t₂t₁)² (x₂x₁)²(y₂y₁)² (z₂z₁)² = 0. В другой инерциальной системе отсчетаКбудем иметь:

c²(t₂t₁)² (x₂x₁)²(y₂y₁)² (z₂z₁)² = 0.

Принцип неизменности скорости света в различных системах отсчета в математической интерпретации обозначает, что не изменяется величина S, где:S² =c²(t₂t₁)² (x₂x₁)²(y₂y₁)² (z₂z₁)² .

Величина Sназывается интерваломмежду двумя событиями в мировом пространстве.

П

реобразования, описывающие переход от одной инерциальной системы отсчетаКк другой инерциальной системе отсчетаК, движущейся относительноКс постоянной скоростьюVв предположении бесконечности скорости светаназываются преобразованиями Галилея:

(x = x +vt, y = y, z = z, t = t).

Если же учитывать конечность скорости света, то такие преобразования носятназвания преобразований Лоренца. Преобразования Лоренца сохраняют интервал. Если в указанном пространстве ввести:, то все векторы (и интервалы) разобьются на:

а) времени-подобные ((x) > 0);

б) изотропные ((x) = 0);

в) пространственно-подобные ((x) < 0).

Если интервал между событиями времени-подобен, то существует Кв которой два события произошли в одном и том же месте мирового пространства.

Если интервал между событиями пространственно-подобен, то существует К^в котором два события произошли одновременно.

Д

ва события могут быть связаны причинно-следственной связью, если интервал между ними времени-подобный.

Рассмотрим псевдоевклидово пространство Еⁿ(p,q) в котором скалярное произведение (x,y) задано симметричной невырожденной билинейной формой, полярной знакопеременной квадратичной формеA(x,x), которая в некоторой системе координат(она называется Галилеевой) имеет вид:.

Def: Линейное преобразованиеРпсевдоевклидового пространстваЕⁿ(p,q) называется преобразованием Лоренца, еслиx,yEⁿ(p,q), (Рx,Рy) = (x,y).

Тº. Определитель преобразования Лоренца отличен от нуля и, следовательно, существуетP^1.Доказать самостоятельно.

Тº. Произведение преобразований Лоренца есть преобразование Лоренца.Доказать

самостоятельно.

Таким образом:

Тº. Множество всех преобразований Лоренца псевдоевклидового пространства

Еⁿ(p,q) c обычной операцией умножения линейных операторов образуют

группу, которая называется общей группой Лоренца псевдоевклидового

пространства Еⁿ(p,q) и обозначенаL(n;p,q).Доказать самостоятельно.

Группа L(n; 1,n1) обозначаетсяL(n). Группа Лоренцевых преобразований в рассмотренном вышеЕ⁴(1, 3) обозначаетсяL(4).

Подгруппа группы L(n) преобразованийР, которые времени-подобные векторы переводят во времени-подобные векторыназывается полной группой Лоренцаи обозначаетсяL_(n).

Подгруппа группы L(n) преобразованийР, для которых detP> 0называется собственной группой Лоренцаи обозначаетсяL₊(n).

Собственные преобразования Лоренца, которые принадлежат L(n) т.е. переводят времени-подобные векторы во времени-подобные векторы также образуют подгруппуL(n), которая называется группой Лоренца и обозначаетсяL_(n).