2.2. Наращение сложных процентов и конверсия валюты

Аналогичные формулы можно получить и для операции наращения сложных процентов; обозначения предыдущего пункта сохраняются.

Вариант 1: СКВ → Руб. → Руб. →СКВ. Наращенная сумма вычисляется по формуле, которая отличается от формулы (18) только множителем наращения (множитель наращения по простым процентам (1+iT) заменяется множителем наращения по сложным процентам (1+i)^T):

V_T=V₀·K₀·(1+i)^T /K₁ (24)

Доходность операции в целом определяется в виде годовой ставки сложных процентов i_э, обеспечивающей наращение суммы V₀ до суммы V_T: V_T =V₀ ·(1+i_э)^T :

(25)

Операция с конверсией валюты имеет смысл только при i_э> j.

Вариант 2: Руб. → СКВ → СКВ → Руб. Наращенная сумма вычисляется по формуле:

S_T=S₀·/K₀·(1+j)^T K₁ (26)

Доходность операции в виде годовой ставки сложных процентов i_э, находится из уравнения

S_T=S₀·(1+i_э)^T

Находим по формуле:

(27)

Операция с двойным конвертированием валюты выгодна при i_э >i; если i_э <i то кредитная операция с двойным конвертированием валюты убыточна

3. Учет инфляции

3.1. Индекс и темп роста инфляции

Инфляция проявляется в падении реальной покупательной способности денег и общим повышением уровня цен внутри страны. Поэтому ее необходимо учитывать при проведении среднесрочных и особенно долгосрочных финансовых операций. Интенсивность инфляции измеряется числовыми показателями, характеризующими среднее изменение уровня цен для некоторого фиксированного набора (корзины) товаров и услуг за определенный период времени.

Пусть выбран определенный набор товаров и услуг, и пусть за фиксированный период времени Т его стоимость изменилась от суммы Х₀ до суммы Х_T.

Определение. Индексом инфляции (индексом цен) за период Т называется величина

(28)

а темпом инфляции за этот период называется величина

(29)

Индекс инфляции Н_T показывает, во сколько раз выросли цены за рассматриваемый период. Темп инфляции h_T часто измеряется в процентах, при этом он показывает, на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период. Из определений индекса и темпа инфляции следует связь между этими показателями:

Н_Т=1+h_Т (30)

Предположим, что период времени Т делится на части Т₁, Т₂,...,Т_n, и известны индексы инфляции H₁, H₂,..., H_n, измеренные за эти частичные периоды. Тогда индекс инфляции Н_T на всем интервале времени Т равен произведению индексов инфляции на каждом из частичных интервалов Т_k:

Н_Т=Н₁·Н₂·...·Н_n (31)

Это важное соотношение иногда удобно использовать в другой форме. Пусть h_k - темп инфляции на частичном интервале времени T_k, тогда Н_k = 1+h_k, и формулу (31) можно записать так:

H_T=(1+h₁) (1 + h₂)…(1+h_k) (32)

В частности, если h₁ = h₂ =... = h_n = h , то H_T = (1+h)ⁿ.

Пример. Найдем индекс и темп инфляции за год, если среднемесячный темп инфляции h_мес. равен 3%:

H_год = (1+h_мес)¹² = (1+0,03)¹²= 1,426;

h_мес =Н_год -1 = 1,426-1= 0,426 = 42,6%,

3.2. Влияние инфляции на уровень доходов по вкладам

Прежде всего инфляцию нужно учитывать при расчете наращенной суммы денег и при измерении реальной эффективности (доходности) финансовой операции.

Рассмотрим простейшую кредитную операцию. Пусть срок действия ссуды равен Т; S₀ - начальная сумма; S_Т - наращенная сумма денег, измеренная по номиналу. Эта же сумма, но с учетом ее обесценения в результате инфляции, составит

(33)

Если i - годовая ставка простых процентов, Т — срок ссуды в годах, то по формуле наращения простых процентов находим:

(34)

Если же сумма S₀ помещена под сложные проценты по ставке i за базовую единицу времени, и при расчете наращенной суммы S_Т применяется общая схема, то реальное значение наращенной суммы с учетом инфляции вычисляется по формуле:

(35)

В частном случае, когда h - темп инфляции за базовую единицу времени, и срок ссуды Т равен целому числу n базовых единиц времени, эта формула принимает вид:

В полученных формулах величины, на которые умножается S₀, представляют собой множители наращения с учетом инфляции. Реальное увеличение наращенной суммы с учетом сохранения покупательной способности денег имеет место только тогда, когда эти множители больше единицы. Для простых процентов кредитная операция приносит реальный доход, если

,т.е.i>h_T/T

Таким образом, определяется минимально допустимая (барьерная) ставка i_* = h_T/T: при i < i_* роста реальной суммы не происходит, наращение будет поглощаться инфляцией, и реальная стоимость начальной суммы S₀ даже уменьшится. Это явление называется эрозией капитала.

В случае сложных процентов поступают аналогично. Если, например, наращенная сумма с учетом инфляции определяется по формуле (36), то кредитная операция приносит реальный доход при условии

, т.е. i> h.

В этом случае минимально допустимая ставка i_* = h. При i < i_* операция убыточна.