1.7. Начисление сложных процентов при дробном числе лет

Часто срок ссуды Т не является целым числом. Иногда в этих случаях проценты начисляются только за целое число лет (или других периодов начисления). В большинстве же случаев учитывается полный срок; при этом применяются два метода.

Формула (9) выводилась для случая, когда срок ссуды составляет целое число лет, но ее можно использовать для любого срока ссуды Т. Согласно первому (общему) методу расчет ведется по формуле;

(11)

где S_Т - наращенная к концу полного срока ссуды Т сумма долга.

Второй (смешанный или комбинированный) метод состоит в следующем. Срок ссуды Т представляется в виде: Т = n+d, где n — целое число лет (или других конверсионных периодов), а d — дробный остаток. Проценты начисляются за целое число лет по формуле сложных процентов (9), и по формуле простых процентов - за дробную часть периода:

(12)

Отметим, что множитель наращения по смешанному методу А₂ = (1+i)ⁿ •(1+ d•i) оказывается несколько больше, чем множитель наращения по общему методу А₁ = (1+i)^Т.

Пример. Кредит размером 5000 руб. выдан под сложные проценты на полтора года по годовой ставке 24% . Определим сумму долга к концу срока

а) Общим методом: Sт = 5000 (1 + 0,24)^1,5 = 6904.

б) Смешанным методом: S_T = 5000 • (I + 0,24)¹ • (1+ 0,5 • 0,24) = 6944.

1.8. Переменные ставки сложных процентов

Если ссуда долгосрочная, то в течение срока ее действия ставки процента могут изменяться. Пусть общий срок ссуды Т разбивается на части T₁, Т₂,...T_n причем

в течение срока Т₁ применяется процентная ставка i₁;

в течение срока T₂ применяется процентная ставка i₂;

……………………………………………………………

в течение срока Т_n применяется процентная ставка i_n.

Обозначим множитель наращения за срок Т_k через А_k, а наращенную к концу срока T_k сумму через A_k. Пусть расчет ведется по общему методу, тогда A_k = (1+i_k)^Tk . По формуле (11) находим:

(13)

В краткой форме полученная формула записывается так:

(14)

Попутно мы показали, что коэффициент наращения А за весь срок ссуды равен произведению коэффициентов наращения на составляющих его интервалах:

A=A₁A₂A₃…A_n (15)

Этот результат носит название принципа стабильности рынка.

1.9. Номинальная и эффективная ставки

В современных условиях проценты капитализируются несколько раз в году - по полугодиям, кварталам, ежемесячно, еженедельно. Однако в финансовых контрактах часто фиксируется не ставка за период начисления, а годовая ставка, и одновременно указывается период начисления процентов.

Определение. Пусть годовая ставка равна j, а число периодов начисления в году равно m (при этом за каждый период проценты начисляются по ставке j/m). Тогда процентную ставку j называют номинальной.

В этом случае наращенная за Т лет сумма вычисляется по формуле:

(16)

Коэффициент наращения при номинальной годовой ставке j и начислении процентов m раз в год равен:

.

Легко видеть, что чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения. Например, ниже в таблице приводятся значения множителя наращения за 1 год при j = 36% и различных значениях m:

m	1	2	4	12	365
А	1.36	1.3924	1.4116	1.4258	1.4331

Для измерения реального относительного дохода, который получают в целом за год от начисления процентов, вводится понятие эффективной ставки процента

Определение. Эффективная ставка - это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m -разовое начисление процентов по ставке j/m.

Обозначим эффективную ставку через i. Выведем формулу для нахождения эффективной ставки по заданной номинальной. По определению множители наращения по двум видам ставок (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу:

(1+i) = (1 +j/m)^m

Тогда:

i = (1 +j/m)^m-1 (17)

Замена в договоре номинальной ставки j при m -разовом начислении процентов по ставке j/m на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств сторон, то есть, обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.