1.10. Сравнение простых и сложных процентов. Период удвоения ссуды
Сравним коэффициенты наращения по простым и сложным процентам при одинаковой годовой ставке i. Пусть срок ссуды Т измеряется в годах. Тогда коэффициенты наращения по простым процентам Anp и по сложным процентам Аcл равны соответственно:
Anp=1+i T; Acл=(1+i)T.
В качестве иллюстрации приведем значения этих коэффициентов в зависимости от срока ссуды Т при i=40%.
|
Т |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Anp |
1 |
1,2 |
1,4 |
1,6 |
1,8 |
2,2 |
2,6 |
3 |
|
Ack |
1 |
1,1832 |
1,4 |
1,6565 |
1,96 |
2,744 |
3,8416 |
5,3782 |
Очевидно, что при T = 0 и при T = 1 коэффициенты наращения совпадают и равны 1 и 1+i соответственно. Можно показать, что при любом значении процентной ставки i справедливы утверждения:
(1) Anp>Acл, если 0<T<1; (2) Anp<Acл, если Т >1.
Отсюда следует, что (при фиксированном значении i) сложные проценты выгоднее при больших сроках ссуды (T > 1), а простые проценты выгоднее при краткосрочных операциях (0<T<1).
Различия в последствиях применения простых и сложных процентов наиболее наглядно проявляются при определении времени, необходимого для увеличения первоначальной суммы в N раз. Например, определим срок удвоения первоначальной суммы (N = 2). Полагая соответствующие коэффициенты наращения равными двум, получаем для простых процентов:
1+i T = 2, Т = 1/i,
и для сложных процентов:
(1+i)T=2, T= ln2/ln (1+i).
2. Кредитные операции с конверсией валюты
2.1. Наращение простых процентов и конверсия валюты
При возможности обмена рублевых средств на СКВ и наоборот целесообразно сравнить результаты от непосредственного размещения денежных средств в депозиты или опосредованно через другую валюту. Таким образом, имеются четыре варианта для наращения процентов:
СКВ → СКВ (без конверсии)
СКВ → Руб. → Руб. → СКВ (с конверсией)
Руб. → Руб (без конверсии)
Руб. → СКВ → СКВ → Руб. (с конверсией)
Сначала рассмотрим операцию наращения простых процентов. Введем обозначения: Т -период операции, S0 - сумма депозита в рублях , V0 - сумма депозита в СКВ, ST – наращенная сумма в рублях, VT - наращенная сумма в СКВ, К0 - курс обмена в начале операции (курс СКВ в рублях), К1 - курс обмена в конце операции, i - годовая ставка процентов для рублевых сумм, j - годовая ставка процентов для конкретного вида СКВ.
Рассмотрим два варианта кредитной операции с конверсией валюты.
Вариант 1: СКВ → Руб. → Руб. →СКВ. Операция предполагает 3 шага: обмен валюты на рубли; наращение процентов на эту сумму, конвертирование в исходную валюту. Если инвестируется сумма V0, то после первого шага сумма в рублях равна V0 • К0, после второго шага наращенная сумма составляет V0 • K0 • (1+iТ), после третьего шага сумма в СКВ составит:
VT=V0·K0·(1+iT)/K1 (18)
Измерим доходность операции в целом. В качестве показателя доходности примем ставку простых процентов iэ, характеризующую рост суммы V0 до VТ :
VT=V0·(1+iэT)
Отсюда находим:
(19)
Если iэ <j, то целесообразнее использовать непосредственное наращение суммы в СКВ по ставке j. Операция с двойным конвертированием валюты выгодна при iэ >j; это условие можно записать в виде:
(20)
Вариант 2: Руб. → СКВ → СКВ → Руб. Если инвестируется сумма S0, то после обмена в СКВ она составит S0/К0, наращение по ставке j за время Т даст сумму S0/ К0 • (1 + jТ), после обмена на рубли получим:
ST=S0 /K0·(1+jT) K1 (21)
Доходность операции в виде годовой ставки простых процентов iэ определим из уравнения ST=S0·(1+iэT) ). Находится по формуле:
(22)
Операция с обменом валюты имеет смысл при iэ >j, то есть при выполнении условия:
Итак, операция с наращением (обменом) валют, в зависимости от отношения курсов валюты К1/K0, может принести доход или быть убыточной.