4.2. Банковский учет. Простая учетная ставка

Рассмотрим случай, когда проценты за кредит выплачиваются в момент заключения договора, то есть, предварительно. При этом проценты в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. В этой операции применяется учетная ставка d.

Пусть срок договора Т измеряется в годах. Если для операции наращения по простым процентам по годовой ставке i плата за ссуду I начисляется на сумму S₀ и равна

I = S₀·i·Т,

то при дисконтировании по простой годовой учетной ставке d плата за ссуду в виде дисконта D начисляется на сумму S_T, подлежащую уплате в конце срока, и равна

D = S_T·d·T.

Так как S₀ = S_T - D, то после подстановки значения D получаем формулу для расчета приведенного значения суммы S_T:

S₀ = S_T (1-d T) (42)

Дисконтный множитель при этом равен (1-d·T).

Если ссуда краткосрочная, то полагают Т = τ/К, где τ-срок ссуды в днях, К -временная база (число дней в году). При учете посредством учетной ставки чаще всего полагают К = 360, а число дней ссуды обычно берется точным.

Найдем связь между годовой ставкой процента i и годовой учетной ставкой d при условии, что обе операции (наращение суммы долга и дисконтирование) приводят к одинаковым финансовым последствиям. Имеем в случае, когда срок ссуды равен одному году, по формулам (2) и (42)):

Перемножая эти равенства и сокращая обе части на S₀ • S₁, получаем

(1+i)(1-d)= 1.

Отсюда можно выразить ставку наращения i через учетную ставку d и наоборот:

(43)

Сравним два метода дисконтирования - математическое дисконтирование для случая простых процентов (формула (39)) и дисконтирование по простой учетной ставке (формула (42)). Очевидно, они приводят к качественно разным результатам. Вычисляемое по формуле (39) приведенное значение суммы S_T положительно при любой ставке процента i . Наоборот, из формулы (42) видно, что для достаточно большого срока ссуды (Т >1/d) современное значение суммы S_T становится отрицательным, то есть, кредитная операция теряет смысл.

4.3. Дисконтирование по сложной учетной ставке

В практике учетных операций иногда применяют сложную учетную ставку. В этих случаях процесс дисконтирования происходит с замедлением, так как каждый раз учетная ставка применяется к сумме, уже дисконтированной на предыдущем шаге по времени. По аналогии с наращением по сложным процентам

S_T=S₀·(1+i)^Т

дисконтирование по сложной годовой учетной ставке d осуществляется по формуле

S₀=S_T·(1-d)^Т (44)

Дисконтный множитель этом равен (1 - d)^T.

Сравним дисконтирование по сложной учетной ставке d с дисконтированием по такой же простой учетной ставке. Возьмем для иллюстрации d = 40% и вычислим для различных значений срока операции Т дисконтные множители для сложной ставки k_сл(T) = (1-d)^T и для простой ставки k_пр(T) = (1-d T). Результаты приведены ниже в таблице.

Т	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
kпр(T)	1	0,8	0,6	0,4	0,2	0	-0,2
kсл(T)	1	0,7746	0,6	0,4648	0,36	0,2789	0,216

Видно, что значение множителя k_пр(T) равномерно убывает с ростом T, обращается в ноль при Т = 2,5 года и является отрицательным при T > 2,5 (то есть, при Т > 2,5 кредитная операция не имеет смысла). Множитель k_сл (T) тоже убывает с ростом Т, но остается положительным при всех T>0.

По аналогии с номинальной и эффективной ставкой процентов вводятся понятия номинальной и эффективной учетных ставок.

Определение. Годовая учетная ставка f называется номинальной, если дисконтирование производится m раз в год по ставке f/m. Приведенная сумма S₀ при этом вычисляется по формуле

S₀ = S_T·(1- f/m)^mТ (45)

где Т срок ссуды. Дисконтный множитель равен (1-f/m)^mT.

Определение. Эффективная учетная ставка - это годовая учетная ставка, дающая тот же результат, что и m -кратное дисконтирование по ставке f/m.

Обозначим эффективную учетную ставку через d. По определению дисконтные множители по двум видам ставок (эффективной и номинальной) должны совпадать:

(1-d) =(1- f/m)^m

Отсюда получаем формулу для расчета эффективной учетной ставки по заданной номинальной:

d=1-(1-f/m)^m (46)