5. Потоки платежей

5.1. Постоянные финансовые ренты

Постоянная рента - это последовательность (поток) одинаковых платежей, выплачиваемых через равные промежутки времени. Размер отдельного платежа называется членом ренты, а временной интервал между двумя последовательными платежами – период ренты. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то рента называется обыкновенной, или постнумерандо. Если же платежи производятся в начале периода, то ренту называют пренумерандо. По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые (выплата раз в году) и р-срочные (р – количество выплат в году).

В большинстве случаев анализ постоянной ренты предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: наращенной суммы ренты S (суммы всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами) или современной стоимости ренты А (суммы всех членов потока платежей, дисконтированных на начало срока ренты или в некоторый другой момент времени). Получим формулы для расчета этих величин.

1). Расчет наращенной суммы постоянной ренты постнумерандо. Рассмотрим сначала годовую ренту постнумерандо. Пусть в течение n­ лет в банк в конце каждого года вносится сумма R , и на взносы начисляются сложные проценты по годовой ставке i . Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты: на первый член ренты проценты начисляются (n-1) год, на второй – (n-2) года, и так далее. Наращенные к концу срока суммы составляют геометрическую прогрессию:

R (1+i)^n-1, R (1+i)^n-2, R( 1+i)^n-3,.., R (1+i), R.

Наращенная сумма ренты в целом получается суммированием этих величин и вычисляется по формуле:

^{S = R .}

Пусть теперь рента р – срочная, выплачивается р раз в году равными суммами, а процент начисляется один раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна R , то каждый раз выплачивается сумма R/p . Общее число членов ренты равно np . Ряд членов ренты с начисленными процентами представляют собой геометрическую прогрессию с первым членом R/p и знаменателем q=(1+i)^1/p . Наращенная сумма ренты S равна сумме членов этой прогрессии:

^{S =.,}

где q = (1+i)^1/p .

В частности , если платежи производятся два раза в год (p=2) , то q= , а если платежи ежеквартальные (p=4) , то q=.

2). Расчет современной стоимости постоянной ренты постнумерандо. При расчете современной стоимости ренты применяется математическое дисконтирование. Рассчитаем приведенную на момент начала срока ренты стоимость годовой ренты постнумерандо. При ежегодном дисконтировании приведенная величина первого платежа равна Rv , второго - Rv² , последнего - Rvⁿ , где v=1/(1+i) - дисконтный множитель. Современная стоимость ренты получается их суммированием и равна:

А=Rv;v = 1 /(1+i).

Для p - срочной ренты при однократном начислении процентов в конце года размер платежа равен R/p , число платежей равно np , а дисконтный множитель v=1/(1+i) ^1/p . Современная стоимость ренты равна:

А=v;

где

В частности, если платежи производятся два раза в год (p=2) , то v=1/, а если платежи ежеквартальные (p=4) , то v=1/.

Величины, на которые умножается R в формулах расчета наращенной суммы ренты, называются коэффициентами наращения ренты, а множители при R в формулах расчета современной стоимости ренты, называются коэффициентами приведения ренты.