1.4. Переменные ставки простых процентов

Рассмотрим случай, когда в течение срока ссуды процентная ставка изменяется. Пусть общий срок ссуды Т разбивается на части Т₁, T₂,…,Т_n, причем:

в течение срока T₁ применяется процентная ставка i₁;

в течение срока Т₂ применяется процентная ставка i₂;

……………………………………………………………

в течение срока Т_n применяется процентная ставка i_n.

Начисленные за срок T_k проценты I_k составляют: I_k = S₀ •i_k•T_k где S_o - первоначальная сумма долга. Общая сумма процентов I за весь срок ссуды равна сумме этих величин:

а наращенная сумма Sт к моменту окончания операции составит:

(5)

Коэффициент наращения за весь срок ссуды равен:

(6)

1.5. Реинвестирование под простые проценты

Теперь предположим, что в момент каждого изменения ставки наращенная к этому моменту сумма вкладывается вновь под простой процент. Эта операция называется реинвестированием, или капитализацией процентов. Получим формулу для расчета наращенной суммы в этих условиях.

Пусть, как и в п. 1.4, общий срок ссуды Т разбивается на части Т₁, Т₂, ... , Т_n, причем в течение периода Т_к применяется процентная ставка i_k. По формуле наращения по простым процентам (2) наращенная за период Т₁ сумма S₁ равна:

В течение периода Т₂ проценты начисляются на сумму S₁ по ставке i₂, и наращенная к концу этого срока сумма S₂ равна:

В течение периода T₃ проценты начисляются на сумму S₂ по ставке i₃, и наращенная к концу этого срока сумма S₃ равна;

Рассуждая аналогично, получаем формулу для вычисления наращенной суммы S_Т к моменту окончания операции:

(7)

Замечание. Если каждый частичный период Т_k равен периоду начисления (T_k =1), а все процентные ставки одинаковы (i_k = i), то весь срок ссуды равен n периодам начисления (T = n), а наращенная сумма S_n составит:

(8)

1.6. Начисление сложных процентов

Чтобы предотвратить частое переоформление вкладов и для поощрения долгосрочных вкладов в коммерческой практике принято выплачивать сложные проценты. При этом в конце каждого конверсионного периода проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, так что база для начисления процентов, увеличивается с каждым их начислением.

Выведем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в год. Пусть S₀ - первоначальная сумма долга, i - годовая ставка процента, n - число лет наращения. Тогда в конце первого года проценты равны S₀ •i, а наращенная сумма составит

В течение второго года база для начисления процентов равна S₁, а наращенная к концу второго года сумма составит

Рассуждая аналогично, получаем формулу для расчета наращенной за n лет суммы:

(9)

Это - основная формула наращения по сложным годовым процентам. Множитель наращения равен:

Хотя формула (9) получена для годовой процентной ставки и срока ссуды, измеряемого в годах, ее можно применять и при других периодах начисления. В этих случаях i - ставка процентов за период начисления, n - число таких периодов (если, например, период начисления равен полугоду, i - полугодовая процентная ставка, то n - количество полугодий).

Замечание. Формула наращения по сложным процентам (9) совпадает с формулой (8).

Пример Кредит размером 5000 руб. выдан под сложные проценты на полгода по ставке 4% а месяц. Определим сумму долга к концу каждого месяца. Обозначим через S_n наращенное значение долга в конце месяца с номером n. По формуле (9) находим: S_n =S₀ (1+i)ⁿ, где S₀ = 5000; i = 0.04. Результаты запишем в таблицу:

n	0	1	2	3	4	5	6
Sn	5000	5200	5408	5624,32	5849,29	6083,26	6326,59

Заметим, что числа S_n образуют геометрическую прогрессию с первым членом 5000 и знаменателем 1,04.