Ч а с т ь III

РАЗДЕЛ I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ,

МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ И С.М.О.

§1. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ, ПОЛЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1. Случайные функции: основные понятия и определения;

классификация случайных процессов и полей

Случайной функцией ξ(t) называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно какой заранее. При этом диапазон возможных её модификаций может быть и известен изначально.

Реализацией X(t) случайной функции ξ(t) называется конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта. В качестве синонимов употребляются также термины «траектория случайного процесса» и «выборочная функция ».

При фиксированном параметре t случайная функция ξ(t) обращается в случайную величину X(t), которая называется сечением соответствующей случайной функции.

Если параметр t представляет собой время или ведёт себя подобно времени (времениподобный параметр), случайную функцию ξ(t) называют случайным процессом. Если этот параметр представляет собой по смысле некую пространственную характеристику, то применят обычно другое обозначение (например: x) и ξ(x) называют случайным полем. Чаще всего при изучении случайных полей подразумевается обычное евклидово пространство, точки которого характеризуются радиус-вектором , поэтому случайное поле обозначаютξ() или ξ(r), если ориентация радиус вектора для данной случайной функции не имеет никакого значения/

Случайная функция может зависеть не от одного, а от нескольких аргументов(например, скорость ветра зависит от времени и от точки замера, то есть от пространственных координат). Обычно применяется следующая классификация:

1) скалярный случайный процесс ξ(t) – случайная функция, область значений которой есть множество действительных* чисел; примеры таких процессов – это ток, напряжение, напряжённости электрического и магнитного полей;

2) векторный случайный процесс – случайная функция, областью значений которой является n – мерное векторное пространство; компонентами такого процесса могут служить скалярные случайные процессы; в качестве примера реализации такого процесса можно назвать фазовую траекторию любой динамической (в частности, автоколебательной) системы;

3) скалярное случайное поле ξ(,t) – случайная функция, область значений которой есть множество действительных* чисел в соответствующем координатном пространстве (тот же самый ветер или скорость воды в реке);

4) векторное случайное поле – случайная функция, представимая в виде компонент, являющихся скалярными случайными полями.

Под вектором в общем случае понимается n – мерный вектор со своими проекциями в избранной системе координат (например, полярной или сферической).

Замечание 1.1.1. Множество чисел, на котором принимает значения скалярная случайная функция (либо компоненты векторных случайных функций) может быть и комплексным. В этом случае говорят о комплексной (либо комплекнозначной) случайной функции.

Случайные функции можно классифицировать по разным признакам. Довольно распространённой, особенно в технических приложениях, является классификация по характеру реализаций X(t), т.е. в зависимости от возможных значений, принимаемых, в частности, случайной функцией ξ(t) и аргументом t. Различают следующие пять видов случайных прцессов:

Дискретная случайная последовательность (дискретный процесс с дискретным временем) – случайная функция, у которой область значений и область определения – дискретные множества, т.е. t  (t₁, t₂, ..., t_M) и случайная величина x_j = ξ(t_j) может принимать лишь дискретное множество значений {x₀, x₁, …, x_k, …, x_K}. Множества значений {t_j} и {x_k} могут быть конечными или счетными ,что соответствует случаям M → ∞ и/или K → ∞. В качестве примеров таких процессов можно назвать случайное подбрасывание монеты, радиотелеграфия, радиолокация и др.

Случайная последовательность (непрерывный процесс с дискретным временем) – случайная функция, у которой область значений – непрерывное множество, а область определения – дискретное. Наглядным примером такой последовательности является последовательность реализаций X(t_j), j=1,…,M, полученных через некоторые определённые или случайные временные интервалы.

Дискретный (разрывной) случайный процесс (дискретный процесс с непрерывным временем) – случайная функция, у которой область значений – дискретное, а область определения – непрерывное множество. В этом случае

ξ(t) может принимать дискретные значения x_k , k = 1, 2, …, K, а время t – континуум значений: t  (0, T), где T – длина временного интервала, на котором задана функция ξ(t). В качестве примера можно рассматривать показания счётчика частиц, моменты пролёта которых никак не определены.

Непрерывнозначный случайный процесс – случайная функция, область значений и область определения которой – непрерывные множества, но его реализации могут иметь разрывы первого рода; если подобные скачки отсутствуют, то такой процесс называется непрерывным. При обработке таких процессов на ЭВМ возникает необходимость их представления в цифровом формате, для чего производится их дискретизация. В общем случае дискретизацию проводят как по времени (получаем случайную последовательность), так и по уровню значений (одно это даёт дискретный процесс), что приводит к дискретной случайной последовательности.

Случайный точечный процесс (поток) – последовательность точек, расположенных случайным образом, например, на оси времени. В последнем варианте такие точки могут соответствовать различным событиям (например, моментам поступления требований или заявок на обслуживание или моментам наступления отказов в какой-либо системе или аппаратуре).

Помимо основных пяти видов возможно великое многообразие случайных функций, представляющих собой более сложные, смешанные виды функций типа ξ(t) = {t, ξ₁(t), …, ξ_n(t), λ₁, …, λ_m}, где не все функции ξ(t) обязаны быть случайными и не все параметры λ – случайные величины.

Замечание 1.1.2 Приведённая классификация, как нетрудно заметить, относится прежде всего к случайным функциям, представляющим случайные процессы. Подобная классификация случайных полей является более разнообразной в зависимости от разных комбинаций характера областей значений, принимаемых как компонентами самого поля ξ , так и компонентами вектора и времени t.