3.2. Потоки событий.

Введём основные понятия.

Потоком событий называется последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени.

Случайным потоком событий называется любой случайный процесс

ν_t , t ≥ 0, удовлетворяющий следующим условиям: 1) ν₀ = 0; 2) в указанном диапазоне ν_t принимает лишь целые неотрицательные значения и ∞; 3) траектории процесса не убывают и непрерывны справа.

Поток ν_t считается заданным, если для каждого целого n ≥ 1 и неотрицательных действительных τ₁, τ₂, …, τ_n задано совместное распределение случайных величин . Случайная величинаν_t имеет смысл числа событий, наступивших в интервале [0, t].

Плотностью (интенсивностью) потока называется среднее число со-бытий в единицу времени, т. е. Mν_t .

Поток событий называется потоком без последействия (с отсутствием последействия), если для любого целого n > 1 и для любых действительных 0 = τ₀ < τ₁ < τ₂ < … < τ_n случайные величины , независимы в совокупности или, иными словами, вероятность появления на любом участке времени того или другого числа событий не зависит от того, какое число событий попало на другие, не пересекающиеся с данным участки.

Поток событий называется стационарным, если для любого целого

n  1 и для любых неотрицательных чисел τ₁, τ₂, …, τ_n распределение случайного вектора {} не зависит от выбора c ≥ 0.

Поток событий называется ординарным, если вероятность появления на элементарном участке Δt двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события, т. е. t ≥ 0

P{ν_t+h – ν_t ≥ 2 | ν_t+h – ν_t ≥ 1} → 0 при h  0.

Ординарный поток событий без последействия называется пуассоновским.

Если события образуют пуассоновский поток, то число событий m, попадающих на любой участок времени (t₀, t₀ + τ) распределено по закону Пуассона:

P(m, τ, t₀) = p_m = [(a)^m/m!]∙e ^{– a}, (3.2.1)

где a – математическое ожидание числа точек, попадающих на участок:

a =, λ (t) – плотность потока. (3.2.2)

Если λ (t) = const, пуассоновский поток называется стационарным пуассоновским иди простейшим потоком. Для простейшего потока число событий, попадающих в любой временной участок длиной τ, распределено по закону Пуассона с параметром a = λ∙τ.

В частности, вероятность P(0, τ) того, что за время τ не поступит ни одной заявки, равна

P(0, τ) = . (3.2.3)

Расстояние T между двумя соседними событиями в простейшем потоке есть непрерывная случайная величина, распределённая по показательному закону, с плотностью

f(t) = (3.2.4)

Для случайной величины T, распределённая по показательному закону, математическое ожидание и дисперсия

m_t = 1/λ; D_t = 1/λ². (3.2.5)

Потоком Пальма (потоком с ограниченным последействием) называется поток событий, у которого промежутки между соседними событиями представляют собой независимые случайные величины. Если эти случайные величины распределены одинаково, то поток Пальма называется стационарным. Простейший (стационарный пуассоновский) поток является потоком Пальма. Нестационарный пуассоновский поток потоком Пальма не является.

Потоком Эрланга k-го порядка называется поток событий, получаемый из простейшего путём операции «разрежения» («просеивания»), когда выбрасывают из потока k точек подряд, а сохраняют только (k +1)-ю. Простейший поток есть поток Эрланга нулевого порядка.

Промежуток времени T между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k-го порядка есть неотрицательная случайная величина с плотностью распределения

, (3.2.6)

и функцией распределения

F_k (t) = P{T < t} =1 – (t > 0). (3.2.7)

Очевидно, T = , где все T_j – независимые одинаково распределённые (см. (3.2.4)) случайные величины. Поэтому математическое ожидание и дисперсия

m_t = (k +1)/λ; D_t = (k +1)/λ². (3.2.5)

При k = 0 (простейший поток) получаем

f₀ (t) = λe ^{– λt} (t > 0) (3.2.8)

– показательный закон.

Регулярным потоком событий называется поток, в котором события следуют одно за другим через строго определённые промежутки времени. При увеличении порядка k потока Эрланга (с одновременным уменьшением масштаба по оси t делением на (k +1) получаем так называемый нормированный поток Эрланга порядка k, который по характеру приближается к регулярному.

Интервал времени Ť между двумя соседними событиями в нормированном потоке Эрланга k-го порядка связан с аналогичной величиной T исходного потока Эрланга соотношением

Ť = T/(k +1) `(3.2.9)

и распределен с плотностью вероятности (3.2.7) с заменой λ= ν(k +1), где ν – плотность исходного потока Эрланга. Математическое ожидание и дисперсия в этом случае также находятся по соотношениям (3.2.5) с той же заменой.

Замечание 3.1. Выходные потоки многих СМО часто представляют собой так называемые потоки с ограниченным последействием (или потоки Пальма). Ординарный поток однородных событий является потоком с ограниченным последействием, если промежутки времени между последовательными событиями T₁, T₂, … представляют собой независимые случайные величины. Простейший поток, в котором независимые случайные величины T₁, T₂, … распределены по показательному закону, является частным случаем потока Пальма. Если все функции распределения F₁(t_j), за исключением, быть может, F₁(t₁), совпадают, то поток Пальма образует поток восстановления. Примером потоков с ограниченным последействием являются потоки Эрланга, образующиеся «просеиванием» простейшего потока.

В качестве примера нестационарного ординарного входного потока приведём так называемый поток (процесс) Пойа. При таком потоке вероятность поступления одной заявки в интервале (t, t +Δt) в систему обслуживания, уже содержащую n заявок, равна

λ_n = (1 + an) / (1 + at), (параметр a > 0) (3.2,10)

а вероятность поступления двух и более заявок – практически равна нулю. Если начальный момент времени t = 0, то вероятность того, что к моменту t в системе будет n заявок (n = 0, 1, 2, …) равна

(3.2.11)

Математическое ожидание и дисперсия числа частиц в системе в момент t:

Mξ(t) = D ξ(t) = t(1 + at). (3.2.12)