Задача 2.

1. Случайный процесс Х(t) имеет спектральную плотность, в виде разложе-ния на простейшие дроби: S(ω) = . Найти корреляционную функцию этого процесса.

Р Е Ш Е Н И Е:

Используя соотношение (1.6.6) получаем:

K_X(τ) ◊

2. Случайный процесс Х(t) имеет спектральную плотность S(ω) = .

Найти дисперсию и время корреляции процесса .

Р Е Ш Е Н И Е:

Используя соотношение (1.6.18) получаем:S_Y(ω) =. Тогдадисперсия процесса D_Y =.Время корреляциинаходим по формулеτ_k=, гдеK_y=αe ^{– α|τ|}[2δ(τ) –α(signτ)²], гдеδ(τ) =– дельта-функция;signτ=– функция знака величиныτ (обобщённые функции; см. ПриложениеI). Тогдаτ_k=

Примечание. В задачах индивидуальных заданий аппарат обобщённых функций не используется (за незначительным исключением довольно простых ситуаций с использованием δ-функции, необходимая информация о которой приводится в Приложении I). данная задача является исключением. Для вычисления K_Y(τ) использован тот факт, что при заданном соотношении случайных функций X(t) и Y(t) справедливо соотношение K_Y(τ) = – d²(K_X(τ))/dτ² и т. к. K_X(τ) = e ^{– α|τ|} , то

K_Y(τ) = –

=◊

3. Стационарный случайный процесс X(t) имеет корреляционную функцию K_x(τ) = e ^{– α| τ |} cosβτ. Найти время корреляции τ_k, спектральную плотность S(ω) и энергетическую ширину спектра Δω_э процесса X(t). Определить соотношение между энергетической шириной спектра Δω_э и шириной спектральной плотности Δω процесса на уровне 0,5 S_X (0).

Р Е Ш Е Н И Е:

Используя соотношение (1.6.7) получаем:спектральную плотность

S_X (ω) =

.

Эта функция достигает своего максимума при ω=ω_m = 0; имеем

S_m = . Тогдаэнергетическую ширину спектра Δω_э=D_X /S_m, где

D_X = K_x(0) = 1 – дисперсия процесса. Таким образомΔω_э= .

Шириной спектральной плотностиΔωпроцесса на уровне 0,5S_X (ω) находится из формулыS_X (Δω) == 0,5S_X (0) =

=. Таким образом, соотношение .

Время корреляциинаходим по формулеτ_k===

=. При этом соотношениеτ_k· Δω_э= π/2α.

4. Случайные процессы X(t) и Y(t) стационарны и стационарно связаны, причём спектральные плотности S_x (ω) и S_yx (ω) заданы. Найти взаимную спектральную плотность процессов U(t) = X(t) + Y(t) и V(t) = , где t₀ = const.

Р Е Ш Е Н И Е:

Взаимная корреляционная функция интересующих нас процессов K_UV(τ) =

= , где использовано обозначение X(t + t₀) = X^*(t). Тогда K_xx*(τ) = K_x(τ + t₀), K_yx*(τ) = K_xy(τ + t₀). При этом S_xx* (ω) = e^iωt0 S_x (ω), S_yx* (ω) = e^iωt0 S_xy (ω). Таким образом, S_UV (ω) = e^iωt0 (iω)^m [S_x (ω) + + S_xy (ω)]. ◊

5. Стационарный случайный процесс X(t) имеет корреляционную функцию K_x(τ) = Aexp(– α²τ²). Найти взаимную спектральную плотность S_xy(ω), если Y(t) = dX(t)/dt, и взаимную корреляционную функцию K_xy(τ).

Р Е Ш Е Н И Е:

Переходя к центрированному процессуX ⁰(t) =X(t) –m_x можно записать для взаимной корреляционной функции K_xy(τ) =

. Тогда, взаимная спектральная плотностьS_xy(ω)=. ◊

6. На вход динамической системы, которая описывается дифференциальным уравнением 5y' + y = 4x' + 3x; (x = x (t); y = y (t)), подаётся стационарный случайный процесс X(t) с математическим ожиданием m_x = 3 и корреляционной функцией K_x(τ) = 2e ^{– α| τ |}. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной функции Y(t) на выходе этой системы.

Р Е Ш Е Н И Е:

Применяя к уравнению операцию математического ожидания, получим 5M(y') + M(y) = 4M(x') + 3M(x), но по условию M(x) = m_x = 3, то есть M(x') = [M(x)]' = 0 и M(y') = 0, поэтому M(y) = 3M(x) = 9. Дисперсия выходного процесса DY(t) = D_y =, где S_y(ω) – спектральная плотность выходного процесса, связанная со спектральной плотностью входного процесса S_x(ω) соотношением S_y(ω) = |Ф(iω)|²S_x(ω). переходная функция системы Ф(iω) имеет В данном случае вид: Ф(iω) =. Спектральная плотность входного процессаS_x(ω) =. Тогда D_y =. ◊

7. В радиотехнике для характеристики реализации на 0 ≤ t ≤ T стационарного случайного процесса ξ(t) с нулевым математическим ожиданием применяют так называемый текущий спектр .

Доказать, что спектральную плотность стационарного в широком смысле процесса ξ(t) с корреляционной функцией K(τ) при достаточно больших T (T → ∞) можно определить через текущий спектр .

Р Е Ш Е Н И Е:

Модуль текущего спектра |F_T(i ω)|² = F_T(i ω) F*_T(i ω) =

= . Дифференцируя это соотношение по верхнему пределу интегрирования, находим +

. Взяв математическое ожидание от обеих частей этого равенства, получим

. Переходя здесь к пределу при T → ∞ получаем требуемую формулу. ◊

8. На вход колебательного узла системы автоматического регулирования, передаточная функция которой имеет вид

подаётся стационарный белый шум, спектральная плотность которого равна S_x*(ω) = N. Определить дисперсию выходного сигнала.

Р Е Ш Е Н И Е:

Прежде всего отметим, что все входящие в передаточную функцию коэффициенты являются характеристиками колебательного звена и имеют конкретный физический смысл: T – постоянная времени; k – коэффициент усиления; ξ –коэффициент демпфирования.

Спектральная плотность выходного сигнала S_y*(ω) =S_x*(ω) |Ф(i ω)|²=

= , откудаD_y = – дисперсия выходного сигнала. ◊