zaharchenko_v_n_kurs_fizicheskoi

Классическим примером диссипативного явления может служить прохождение электрического тока через электропроводящую среду без химической или электрохимической реакции. В этом случае электрическая работа равна

где I - сила тока.

В общем случае диссипативная функция может быть представлена в виде суммы произведений величин Ji, называемых обобщенными потоками (в приведенном выше примере к обобщенным потокам относится сила тока), на величины Xi, называемые обобщенными силами ( в приведенном выше примере такой силой служит разность потенциалов):

При равновесии становится равной нулю не только диссипативная функция, но и каждое произведение, так как оно является линейно независимым. Для реально протекающих процессов выполняется неравенство.

12 - 3. Феменологические соотношения

Для относительно небольших отклонений системы от состояния равновесия можно принять прямую пропорциональную зависимость обобщенных потоков от обобщенных сил. В приведенном выше примере сила тока прямо пропорциональна разности потенциалов (закон Ома). В общем случае, как постулировал Онсагер, любой обобщенный поток Ji из всех возможных (число потоков равно m) находится в линейной зависимости от всех обобщенных сил (число сил совпадает с числом потоков):

191

j 1

Уравнение (12 - 7) называется основным феменологическим законом термодинамики необратимых процессов. Входящие в него величины ij называются феменологическими коэффициентами . Они не зависят от сил и потоков.

Онсагер установил, что для большинства случаев перекрестные феменологические коэффициенты равны:

Выражение (12 - 8) называется соотношением взаим-

ности Онсагера .

Для ряда случаев выполняется соотношение

Соотношения взаимности обоснованы методами статистической термодинамики.

192

в случае, если выполняются условия

Известна теорема Коши, согласно которой любое равенство типа (а) можно перевести в форму полного дифференциала умножением обеих частей равенства на функцию= (x,y) или делением на функцию = (x,y). Функция называется интегрирующим множителем, а функция - интегрирующим делителем. Естественно, что =1/ .

Однородные функции первой степени. Формула Эйлера

Однородными функциями называются функции

где m - степень функции.

При m=1 функция называется однородной функцией первой степени. Для нее выполняется формула Эйлера

Метод неопределенных множителей Лагранжа для нахождения экстремума функций нескольких переменных

Пусть кроме функции F=F(X1,X2,...,Xm+k), которую необходимо испытать на экстремум, имеются еще функции

1 1 (X1 , X2 ,..., Xm k );

......................................

i i (X1 , X2 ,..., Xm k );

.......................................

k k (X1 , X2 ,..., Xm k ).

194

Функции i называются функциями связи.

Для того, чтобы найти экстремум функции F, можно было бы, используя k уравнений связи, найти функцию от m независимых переменных. Однако при таком решении выкладки могут стать чрезвычайно сложными.

Лагранж предложил метод, по которому вводится вспомогательная функция

в которую входят величины 1, 2,..., i,..., k, называемые неопределенными множителями.

Условию экстремума отвечают равенства

j=1,2,...,m+k.

Задачи о размещении и расселении жильцов

Предлагаемые здесь задачи из комбинаторики являются иллюстрацией проблемы реализации системы.

Вначале рассмотрим более простую задачу о размеще-

нии.

Предположим, что имеется книжный шкаф, в который можно поставить n книг. Книги отличаются друг от друга (возможно, названием произведений, именем автора, номером тома и т.д.). Каждая последовательность расположения книг, отличающаяся от других, считается отдельной расстановкой (или размещением). Подсчитаем, сколько может быть таких размещений.

Пусть в шкафу имеется n мест для книг (полок, ящиков и т.п.).

Когда шкаф пуст, то первая размещаемая книга может занять любое из n возможных мест. Следовательно, для одной книги существует n способов размещения. Вторую книгу можно поставить на любое из n-1 оставшихся мест. Поэтому для двух книг существует n (n-1) способов размещения. Третья книга ставится на любое из оставшихся (n-2) мест, и для размещения трех книг существуют n (n-1) (n-2) способов размещения... Перейдем к размещению одной из

195

последних трех книг. До этого предыдущие книги можно было разместить

n (n-1) (n-2) ... 4 способами. Одна из оставшихся трех книг может быть размещена тремя способами и общее число размещений увеличится до

n (n-1) (n-2) (n-3) ... 4 3. Предпоследнюю книгу можно разместить двумя способами, а последнюю - одним, и число размещений всех книг составит n (n-1) (n-2) (n-3) ... 4 3 2 1= n!.

Теперь обратимся к более сложной задаче.

Пусть необходимо расселить N человек в m домах. В первом доме можно поселить N1 жильцов, во втором - N2, ..., в доме i - Ni,,... Если бы квартиры в каждом доме были различимы, то число расселений составило бы N!. Примем , что квартиры в каждом доме равноценны, т.е. переселение жильцов из квартиры в квартиру в пределах одного дома не учитывается. Таким образом, общее число возможных расселений N! должно быть уменьшено. Число исключенных способов заселения первого дома составит N1!, второго - N2!, ..., i-го - Ni!, ... и общее число расселений уменьшится в

N1!N2!...Ni!...= Ni! раз.

В таком случае все дома можно заселить следующим числом способов:

Формула Стирлинга

Во многих задачах требуется переход от N! к непрерывной функции. В этом случае используют приближение, именуемое формулой Стирлинга:

(напомним, что постоянная Авогадро близка к 6 1023), приближение является замечательным.

196

Предметный указатель

199

200