2.5. Расчет рам

Рамой называется стержневая система с жесткими и шарнирными узлами. Стержни плоской рамы работают на изгиб и растяжение или сжатие. В поперечных сечениях стержней при действии нагрузки возникают, в общем случае, изгибающий момент M, поперечная Q и продольная N силы.

В строительной механике основной задачей расчета рам при действии статической нагрузки является определение M, Q, N и построение их эпюр. Эта задача решается с помощью метода сечений.

Для определения методом сечений M, Q, N необходимо:

Определить реакции опор.
Определить число участков и их границы.
Определить M, Q, N на каждом участке и построить их эпюры.
Проверить эпюры M, Q, N.

Рассмотрим каждый этап алгоритма расчета подробно.

2.5.1. Определение реакций опор

Этот этап расчета описан подробно в разделе 2.1.

2.5.2. Определение числа участков и их границ

На этом этапе необходимо определить число участков рамы, на которых аналитические выражения для M, Q, N будут различными. Границами таких участков являются:

опорные узлы,
узлы , соединяющие стержни рамы,
сечения, в которых приложены сосредоточенные силы или моменты,
границы приложения распределенной нагрузки.

В качестве примера рассмотрим раму, показанную на рис. 2.32.

Рис. 2.32

Для этой рамы имеем семь участков, границы которых обозначены цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и черными квадратиками.

2.5.3. Определение усилий M,Q,Nна каждом участке и построение их эпюр

Этот этап расчета выполняется в следующем порядке:

На рассматриваемом участке проводим сечение, разделяющее раму на две части.
Изображаем одну из частей рамы с заданными нагрузками и размерами.
Задаем расстояние от начала участка до сечения, обозначая его, например, символом z.
В поперечном сечении рассматриваемой части рамы изображаем в положительном направлении поперечную силу Q и продольную силу N.
В поперечном сечении изображаем изгибающий момент, направляя его по часовой или против часовой стрелки.
Показываем на рассматриваемом участке штриховой линией расположение растянутого волокна стержня при принятом направлении изгибающего момента, принимая во внимание, что момент направлен от растянутого волокна.
Принимаем правила знаков для записи уравнений равновесия, то есть задаем положительные направления осей координат и момента.
Записываем уравнения равновесия для рассматриваемой части рамы, учитывая заданные нагрузки, реакции опор и усилия M, Q или N:

0 Y = 0 ,  M_o = 0 ,

где  Z - сумма проекций всех сил, включая N , на ось, совпадающую по направлению с продольной осью стержня на участке;

Y - сумма проекций всех сил, включая Q, на ось, совпадающую по направлению с перпендикуляром к оси стержня на участке;

 M_o- сумма моментов всех сил, включая изгибающий момент M , относительно сечения,

При записи уравнений равновесия используем принятое правило знаков.

Решаем уравнения равновесия. В результате получаем аналитические выражения для определения усилий M, Q, N.
Анализируем аналитические выражения для усилий M, Q, N и по результатам анализа строим их эпюры.

При анализе могут быть получены следующие результаты:

1) Усилие не зависит от координаты z ,то есть оно на данном участке постоянное. Эпюра усилия в этом случае изображается прямой линией, параллельной оси стержня.

2) Усилие зависит от координаты z в первой степени, то есть оно на данном участке изменяется по линейному закону. Эпюра усилия в этом случае изображается прямой линией, наклонной к оси стержня. Для построения эпюры нужно определить значение усилия в начале и в конце участка, то есть при z=0 и при z = l, где l - длина участка.

Усилие зависит от координаты z во второй или большей степени, то есть оно на данном участке изменяется по нелинейному закону. Эпюра усилия в данном случае изображается кривой линией. Для построения эпюры нужно определить значение усилия в начале, в середине и в конце участка.

Рассмотрим описанный алгоритм расчета на конкретном примере.

Пример.

Для рамы, показанной на рис. 2.33, требуется построить эпюры усилий M, Q, N от заданной нагрузки.

Исходные данные: М₁=8 кНм, Р=6 кН, q=4кН/м, h=4 м, l=4 м.