2.4.3. Определение внутренних усилий в многопролетных балках и построение их

эпюр

В соответствии с вышеизложенным, расчет многопролетной балки можно произвести следующим образом:

• построить поэтажную схему балки;

• определить с помощью поэтажной схемы порядок расчета простых балок;

• произвести расчет простых балок в соответствии с принятым порядком расчета;

Расчет простой балки нужно производить в следующем порядке:

а) определить реакции опор и проверить их;

б) определить М и Q и построить их эпюры;

в) проверить построенные эпюры.

• построить эпюры М и Q для многопролетной балки и проверить их.

Внимание!

При расчете каждой простой балки необходимо учитывать силы её взаимодействия с вышележащими балками, опирающимися на нее через фиктивные опоры, то есть реакции фиктивных опор для вышележащих балок нужно прикладывать к нижележащей балке с обратным знаком.

Так, например, для балки, показанной на рис.2.25, при расчете балки 2 к ней, кроме нагрузки, нужно приложить реакцию в фиктивной опоре балки 3 с обратным знаком.

Пример расчета.

Для балки, расчетная схема которой показана ниже, требуется:

1. Проверить геометрическую неизменяемость системы.

2. Построить эпюры изгибающих моментов М и поперечных сил Q от заданной нагрузки.

Исходные данные.

d	P	Q
м	КН	КН/м
3	10	3

1. Производим проверку геометрической неизменяемости балки.

Необходимым условием геометрической неизменяемости плоской стержневой системы является равенство нулю степени свободы системы, определяемой по формуле

,

где Д – число дисков (простых балок); Ш – число простых шарниров, соединяющих между собой диски (балки); - число опорных стержней.

Для рассматриваемой балки Д=3, Ш=2, С₀=5. Тогда

Это условие необходимое, но недостаточное для того, чтобы рассматриваемая многопролетная балка была геометрически неизменяемой. Дополнительно нужно провести геометрический анализ структуры балки.

Заданная многопролетная балка образована из трех простых балок:

а) Балка АС тремя опорными стержнями, которые не параллельны и не пересекаются в одной точке, присоединена к диску “земля”. Следовательно, система балка АС-земля геометрически неизменяемая и неподвижная.

б) Балка СЕ присоединена к балке АС шарниром С и к “земле” стержнем D, осевая линия которого не проходит через шарнир С. Следовательно, система из балок АС и СЕ является геометрически неизменяемой.

в) Балка EF присоединена к геометрически неизменяемой системе шарниром Е и опорным стержнем F, осевая линия которого не проходит через шарнир Е. Следовательно, система, образованная из балок АС, СЕ и EF является геометрически неизменяемой и неподвижной.

Таким образом, заданная многопролетная балка является геометрически неизменяемой; статически неопределимой и неподвижной.

2. Строим поэтажную схему балки.

По расчетной схеме балки определяем, что она состоит из трех простых балок, соединенных шарнирами С и Е.

Производим анализ простых балок:

• Балка АС имеет две опоры А и В. Следовательно, она является основной балкой и располагается на первом этаже схемы.

• Балка СЕ имеет опору D, а в точке С она опирается на балку АС. Следовательно, балка СЕ является присоединенной балкой и располагается она на втором этаже схемы.

• Балка ЕF имеет одну опору F, а в точке Е она опирается на балку СЕ. Следовательно, балка EF является присоединенной и располагается она на третьем этаже схемы.

По результатам анализа строится поэтажная схема балки.

3. По поэтажной схеме определяем последовательность расчета простых балок.

Порядок расчета простых балок изображаем схемой 321, согласно которой расчет начинается с балки СF, затем последовательно рассчитываются балки СЕ и АС.

4. Расчет простых балок.

а) Балка EF (рис.1).

Рис.1

1. Определяем реакции опор V_E и V_/\..

V_F=P/2=10/2=5(kH).

2. Проверяем реакции опор.

Проверка выполнена.

3. Определяем М и Q и строим их эпюры.

Для построения эпюр М и Q нужно определить М и Q на участках EK и KF.

Участок EK .

- прямая наклонная линия; при , при.

Участок KF .

- прямая наклонная линия; при , при По результатам расчета строим эпюры М и Q.

б) Балка СЕ (рис.2).

Так как балка СЕ лежит ниже балки ЕF, то к ней в точке Е прикладываем силу, равную реакции для балки EF с обратным знаком.

Производим расчет балки СЕ.

1. Определяем реакции опор и.

Рис.2

2. Проверяем реакции опор.

Проверка выполнена.

3. Определяем М и Q и строим их эпюры.

Для построения эпюр М и Q необходимо рассмотреть три участка: CL, LD и DE.

Участок CL .

- прямая наклонная линия при , при.

Участок LD .

		- прямая наклонная линия при , при
Внимание!	Знак минус показывает, что при изгибающий момент направлен не против часовой стрелки, как было принято при расчете, а по часовой стрелке. Следовательно, ординату М в этом сечении на эпюре изображаем сверху оси стержня.

Участок DE .

- прямая наклонная линия при , при.

Так как ответ получился со знаком минус, то ордината М откладывается сверху от оси стержня.

По результатам расчета строим эпюры М и Q.

б) Балка АС (рис.3).

К балке АС кроме заданной нагрузки прикладываем силу взаимодействия её с балкой СЕ ( реакцию с обратным знаком) и производим её расчет.

1. Определяем реакции опор и.

2. Проверяем реакции опор.

Проверка выполнена.

Рис.3

3. Определяем М и Q и строим их эпюры.

Для построения эпюр М и Q необходимо рассмотреть три участка: АВ и ВС.

Участок АВ .

Распределенную нагрузку заменяем её равнодействующей . - наклонная прямая линия при , при. - квадратная парабола. При , при при .

Так как ответ получился со знаком минус, то ордината М откладывается сверху от оси стержня.

Участок ВС .

- прямая наклонная линия; при , при. - квадратичная парабола

при ,

при .

Определяем наибольшее значение изгибающего момента на участке . Для этого из уравнения

находим координату z, при которой :

Подставляем в уравнение для изгибающего момента на участке

По результатам расчета строим эпюры М и Q, откладывая положительные ординаты внизу, а отрицательные сверху.

5. Построение окончательных эпюр М и Q для данной балки.

Эти эпюры строятся по результатам расчета простых балок.

6. Проверка эпюр М и Q.

Эпюры М и Q проверяются

• на соответствие заданной нагрузке;

• на соответствие эпюры Q эпюре М;

• на выполнение уравнения равновесия для всей балки (статическая проверка).

Предлагается проверку выполнить самостоятельно!

Рис.4