§ 4. Интегрирование тригонометрических функций.

1. Самый простой случай, если подынтегральная функция

содержит произведение синусов и косинусов разных аргу -ментов. В этом случае используют обычные формулы пре -образования произведения тригонометрических функций в сумму:

Например:

2. Интегралы вида

1). Если и нечётное, то. Например,

2). Если и нечётное, то, например:

3). Если и и- чётные, то при вычислении интеграла следует использовать формулы понижения степени:

Например,

4) Если ( чётная и отрицательная ), то приме -няется замена:

.

Рассмотрим пример:

3. Интегралы вида или приводящиеся к такому виду: замена. Рассмотрим соответствующие примеры:

1)

2)

4. Универсальная тригонометрическая подстановка:

применяется, если мы имеем интеграл вида Например,

1.

2.

Замечание. Так как применение универсальной тригоно -метрической подстановки зачастую приводит к громоздким рациональным выражениям, то применять её рекомендуется в тех случаях, когда другие подстановки «не работают».

§ 5. Интегрирование иррациональных функций.

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

1. Если подынтегральная функция состоит из одного или нескольких корней разных порядков от одного и того же линейного выражения, то подкоренное выражение заменяем таким образом, чтобы избавиться от всех корней сразу, т.е. заменяем через , где- наименьшее общее кратное всех порядков корней. Например: а)

б)

2. Интеграл вида . Рассмотрим пример:

3. Интеграл вида . Следует выделить полный квадрат в подкоренном выражении и сделать соответ- ствующую замену переменной. Например:

4. Тригонометрические подстановки:

А. . Применяется подстановка:

Например,

В. Интеграл вида При вычислении таких интегралов используется подстановка:

.

Например:

С. Интеграл вида Подстановка:

например: Замечание. Тригонометрические подстановки целесообраз -но применять в том случае, если подынтегральная функция содержит только чётные степени .

Мы рассмотрели основные приёмы интегрирования функций. Следует заметить, что интегрирование какой - либо функции может выполняться разными способами.. Правильный выбор метода интегрирования позволяет ускорить выполнение задачи. Фактически очень многое зависит от сообразительности и навыков, получаемых в результате тренировки.

Но не всегда удаётся найти первообразную в виде эле -ментарной функции. Существует класс функций, для которых интеграл не выражается через элементарные функции (т.е. так называемые «не берущиеся» интегралы), но которые имеют большое значение в приложениях, например - инте -грал Пуассона - применяется в теории вероятностей;- интегральный логарифм - применяется в теории чисел;

- интегральные синус и косинус; , - интегралы Френеля - используются в физике, и т.д.

2. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.