§ 1. Двойные интегралы.

Пусть - замкнутая, ограниченная область в плоскости, а- функция, определённая и ограниченная в точках области.

Разобьём область начастейс площадями, не имеющих общих внутренних точек. В каждой частичной областивозьмём произвольную точкуи составим сумму

, (1) которую назовём интегральной суммой для функции в области.

О

Диаметром области -- называемся наибольшее расстояние между граничными точками области. Пусть.

Определении 1. Если интегральная сумма (1) при имеет конечный предел, то этот предел называетсядвой -ным интегралом от функции по областии обозначается:

. (2)

В этом случае функция называется интегри- руемой в области ,называется областью интегриро-вания, а -элементом площади.

Если функция непрерывна (или кусочно - непре- рывна) в области, то она интегрируема в этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла:Двойной интеграл численно равен объёму криволинейного цилиндра, ограниченного сверху графиком неотрицательной функции ; снизу - областью, лежащей в плоскости, а с боковых сторон - цилиндрической поверхностью, обра -зующая которой параллельна оси, а направляющая - совпадает с границей области.

О

(3)

В частности, если , двойной интеграл равен площади области.

(4)

СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА,

Основные свойства двойного интеграла аналогичны соот -ветствующим свойствам определённого интеграла, а именно:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак инте -грала, т.е., если - интегрируема в области, а- произвольное число, то

(5)

2. Двойной интеграл от алгебраической суммы двух (или более) интегрируемых функций равен алгебраической сумме этих функций, т.е

; (6)

3. Если область является объединением двух областей , не имеющих общих внутренних точек, то для интегрируемой в областифункции выполняется свойство:

; (7)

4. Теорема о среднем. Если функция инте -грируема в области, то в этой области найдётся точка, такая, что для всех точек области выпол -няется следующее равенство:

, (8)

где - площадь области.

§ 2 Вычисление двойного интеграла в

ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ (ПЕРЕХОД ОТ

ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ)

Определение. Область называетсяправильной в на -правлении оси , если любая вертикальная ( гори- зонтальная ) прямая, пересекающая область, пересекает её границу не более чем в двух точках.

Пусть область правильная в направлении оси. Тогда выполняется следующая терема:

ТЕОРЕМА 1 Пусть функция определена в области, где

непрерывные функции на промежутке . Пусть в областисуществует двойной интеграл

; (1)

и пусть для каждого существует определённый интеграл вида. Тогда существует опре-

делённый интеграл и спра -ведливо равенство:

. (2)

-

-----

О

Аналогичная формула имеет место и в случае, если область является правильной относительно другой оси:

-- ---

O x

(3)

Формулы (3) и (4) определяют переход от двойного интеграла к повторному (т.е. интеграл от интеграла)

Порядок интегрирования, обычно, выбирают в соответствии с ориентацией области (область должна быть правильной в направлении интегрирования, чтобы можно было обойтись одним интегралом (если это возможно), и не пришлось бы дробить область на несколько правильных частей). Если же область интегрирования является правильной в обоих направ- лениях, то порядок интегрирования выбираем таким образом, чтобы легче вычислялся внутренний интеграл.

ПРИМЕРЫ.

1. Изменить порядок интегрирования:

Область интегрирования определяется неравенствами:

Построим эту область.

, тогда это верхняя половина окружности

1

-1 0 1

Если мы теперь изменим порядок интегрирования, то в данной области , аменяется от левой половины окружностидо правой половины окружностии интеграл преобразуется к виду:

2. Изменить порядок интегрирования:

Для первого интеграла ; для второго интеграла. Таким образом. Построим эту область.

1,5

1

0 1 3

Переориентируем её в направлении оси . Теперь в этой области:и исходная сумма двух интегралов перейдёт в один интеграл:

Заметим, что при таком порядке интегрирования интеграл будет вычисляться проще.

3. Вычислить двойной интеграл:

, где

Построим область

-_

3

1

0 1

Область является неправильной по обоим осям. Поэтому при вычислении интеграла область придётся разбивать на две части и, соответственно, интеграл будет равен сумме двух интегралов:

4. Вычислить двойной интеграл:

,где

Построим область

0

Данная область является правильной в направлении обеих осей координат, поэтому порядок интегрирования можем выбирать произвольным образом. В этом случае следует обратить внимание на подынтегральную функцию .

Если внутренний интеграл поставить по переменной , то при вычислении интеграла придётся дважды применять формулу интегрирования по частям, что, естественно, не целесообразно (получаются громоздкие вычисления). Поэто- му следует выбрать другой порядок интегрирования:

5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Построим область .

2

-1 0 8

-6

Найдём точки пересечения графиков:

Корни этого уравнения

Область ориентирована вдоль оси , поэтому следует выбрать следующий порядок интегрирования: