Chainov_Ivashenko_Konstr_dvs_1 / Чайнов Иващенко - Конструирование ДВС

в частности описанный ранее ме тод переменных параметров упру гости. При этом также используют ся численные методы и вариацион ный подход. Следует отметить, что при расчете на ползучесть неравно мерно нагретых тел теорию старе ния можно применять, если темпе ратурные напряжения существенно меньше напряжений от внешних сил. При резких изменениях на пряженного состояния переходят к использованию теории течения.

2.4. Численные методы анализа теплового

и напряженно деформированного состояния деталей.

Метод конечных элементов

Вследствие сложной геометриче ской формы и сложных условий на гружения деталей поршневых дви гателей аналитическое решение за дач определения их теплового и на пряженно деформированного сос тояния (ТНДС), как правило, не возможно без значительного упро щения расчетной схемы. Получае мые при этом результаты часто не отражают действительного уровня, а часто и характера распределения температур и напряжений в деталях. В настоящее время стала возмож ной реализация уточненных расчет ных схем, гораздо полнее учиты вающих особенности конструкции и условия работы деталей. Основ ным расчетным аппаратом при ана лизе таких схем стали получившие широкое распространение числен ные методы. В отличие от аналити ческих численные методы преду сматривают получение решения за дачи не в виде окончательных рас четных зависимостей, а в виде мас сивов чисел, характеризующих, на

пример, поля температур или на пряжений того или иного узла (де тали). Разумеется, если задачу уда ется решить аналитически, не при бегая к чрезмерным упрощениям за счет снижения точности решения, то следует использовать аналитиче ский метод.

Из численных методов при рас чете деталей двигателя внутреннего сгорания получили распростране ние метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), начинающий все шире применяться метод граничных эле ментов (МГЭ), а также метод кон трольных объемов.

Исторически сначала получил распространение МКР при расчете температурных полей теплонапря женных деталей двигателя. Этот ме тод относится к разряду сеточных. Дифференциальное уравнение и граничные условия заменяют урав нениями в конечных разностях, что в конечном счете приводит к систе ме алгебраических уравнений отно сительно неизвестных дискретных значений искомых функций в узлах сетки, покрывающей заданную об ласть. Более ограниченное приме нение МКР нашел при решении за дач об определении напряженно деформированного состояния дета лей двигателя, где область его при ложения ограничилась решением задачи о плоском напряженном со стоянии (расчет подвески коленча того вала, элементов шатуна).

Более универсальным является получивший повсеместное распро странение метод конечных элемен тов. Суть МКЭ заключается в ап проксимации искомой, непрерыв но изменяющейся по объему тела величины (температуры, переме щения) ее дискретной моделью. Последняя строится с помощью

интерполирующего полинома, вы ражающего изменение искомой функции в пределах области, зани маемой конечным элементом, че рез значения этой функции в узлах граней этого элемента. Тело (де таль) мысленно разбивается на большое число достаточно малых по размерам элементов той или иной формы, отсюда и название метода – МКЭ.

МКЭ обладает рядом досто инств, имеющих исключительное значение для расчетной практики. Среди них достаточно точное опи сание криволинейных границ дета лей, а также самых различных ус ловий закрепления и нагружения, отсутствие принципиальных труд ностей при расчете конструкции в упругопластической области. Оп ределения теплового и напряжен но деформированного состояния при расчете по МКЭ становятся ес тественными этапами одной общей задачи. Так как применение МКЭ охватывает самые различные об ласти механики сплошной среды, то метод может стать универсаль ным применительно к большей части расчетов, связанных с проек тированием двигателя в целом.

МКЭ имеет и недостатки. При решении сложных задач необходи мы машины с большим объемом памяти. Реализация метода связана с подготовкой большого количест ва исходных данных, в ходе кото рой все еще велика роль ручного труда. Но это, видимо, не главное. Метод приближенный и часто ре зультаты получаются недостаточно точными, а оценить погрешность не всегда просто.

МКЭ развивался на базе ис пользования ЭВМ в современной расчетной практике, его эффектив ность обеспечена наличием мощ ных программных комплексов,

развивающихся в направлении все более полной автоматизации про цесса вычислений, включая подго товку исходной информации и удобную для использования форму представления результатов, а также в направлении расширения круга физических процессов, исследуе мых с помощью конечно элемент ных моделей.

Характерной особенностью, свя занной с реализацией МКЭ, являет ся широкое использование матрич ной формы представления алгорит ма расчета. Матричная форма запи си удобна для ЭВМ, которые распо лагают стандартными программами для выполнения различных вычис лительных действий с матрицами. В конечном итоге МКЭ часто сво дится к решению систем линейных алгебраических уравнений большо го порядка.

Так, систему линейных алгеб раических уравнений можно пред ставить в виде

ственно матрицы (векторы) столб

цы неизвестных и правой части системы.

Напомним, что складывать и вычитать можно матрицы, имею щие одинаковое число строк и столбцов, при этом каждый эле мент новой матрицы равен сумме соответствующих элементов мат риц – слагаемых. Умножать можно матрицы, в которых число столб цов первого сомножителя равно числу строк второго. Элемент, стоящий в i й строке и j м столбце произведения, равен сумме произ ведений элементов i й строки пер вого сомножителя и соответствую щих по расположению элементов j го столбца второго сомножителя. Кроме матрицы (вектора) столбца будет использоваться и матрица строка, например [N] = [N1N2, …,

Nn].

При операциях с матрицами широко используется их транспо нирование, обозначаемое симво лом "Т" и заключающееся в пере мене местами строк матрицы с ее столбцами. В частности, транспо нирование матрицы строки дает матрицу столбец. При транспони ровании произведения сомножите ли меняют местами. Если в квад ратной матрице элементы, распо ложенные симметрично относи тельно главной диагонали, равны

между собой аij = aji, то матрица на зывается симметричной.

Если в квадратной матрице все элементы, кроме диагональных, равны нулю, т.е. аij = 0 при i 5 j, то матрица называется диагональной. Если при этом все аii = 1, то такая диагональная матрица называется единичной и обозначается Е. Если же в квадратной матрице в допол нение к элементам главной диаго нали отличными от нуля являются также элементы, расположенные на нескольких примыкающих к

главной сверху и снизу диагоналях, то такую матрицу называют лен точной.

Если определитель матрицы [А] системы (2.54) отличен от нуля, т.е. матрица [А] невырожденная, то не известные {x} системы уравнений (2.54) могут быть выражены через значения правой части системы {b} следующим образом:

Матрица [А] 1 называется обрат ной по отношению к [А] матрицей, а ее отыскание называется обраще

нием матрицы [А]. Заметим, что [А] 1[А] = [А][А] 1 = [Е].

Решение задачи МКЭ начинает ся с разбиения области, занимае мой деталью или их совокупно стью, на конечные элементы. МКЭ пригоден для решения как одно мерных, так двух и трехмерных за дач.

На рис. 2.9, а, б, в представлены некоторые типы простейших од но , двух и трехмерных конечных элементов.

Простейшие КЭ, называемые иногда симплексными, имеют ми нимальное количество узловых то чек, расположенных по краям од номерного элемента или в угловых точках плоских и объемных эле ментов.

Вслучае осесимметричных тел последние представляются кольце выми конечными элементами, об разованными вращением треуголь ных или четырехугольных элемен тов (рис. 2.9, б) вокруг оси симмет рии.

Вкачестве неизвестных при ре шении задачи методом конечных элементов принимаются узловые значения искомой функции, на пример, температура детали. Об щее число неизвестных задачи оп

Рис. 2.11. Конечно элементная модель кла пана

невые, балочные, мембранные, оболочные, твердотельные и дру гие виды конечных элементов.

После выбора в соответствии с классом задачи типа элементов про изводится разбиение тела на эле менты, нумерация элементов и их узлов. В качестве примера на рис. 2.11 приведена осесимметрич ная конечно элементная модель. При разбиении тело сначала делит ся на зоны с каким либо характер ным признаком (особенность гео метрии, нагружения, свойств мате риала и т.д.). Возможность менять мелкость разбивки (размеры эле ментов) при переходе от одной час ти детали к другой является важным достоинством метода.

Более мелкая разбивка приме няется в местах больших градиен тов температуры, в районах кон центрации напряжений. Важное значение имеет порядок нумерации узлов. Порядок систем линейных алгебраических уравнений, полу чающихся при расчетах полей тем ператур и перемещений основных деталей двигателя достаточно ве лик. Однако важной особенностью указанных систем уравнений явля ется то, что матрицы коэффициен тов при неизвестных оказываются редкозаполненными, т.е. большое

число коэффициентов равно нулю. При рациональной нумерации эле ментов и узлов ненулевые коэффи циенты группируются по обе сто роны главной диагонали. Матрица коэффициентов имеет при этом ленточную структуру. Чем меньше ширина ленты, тем быстрее реша ется система уравнений на ЭВМ и тем точнее решение.

МКЭ предусматривает аппрок симацию в пределах элемента не прерывной функции U, например, температуры Т, перемещения , ин терполирующим полиномом.

Интерполирующие полиномы для каждого конечного элемента должны обеспечить непрерывность искомой функции U и ее производ ные до (р 1) го порядка включи тельно во всей области %, если при этом 2р – порядок исходного диф ференциального уравнения. В слу чае задач теплопроводности и тео рии упругости р = 1. Производные р го порядка могут иметь разрывы первого рода по граням стыковки смежных элементов.

Соблюдение этих условий необ ходимо для сходимости процедуры вычислений МКЭ, а также пред ставления функционала [напри мер, Ф(Т) (2.9) или П (2.28) для всей области %] суммой функцио налов по отдельным элементам

m

Ф(T ) 6Фe (T ); (2.56, а)

e 1

m

П 6Пe , (2.56, б)

e 1

где m – число конечных элементов. Вид интерполирующего поли нома определяется мерностью % (одномерная, двухмерная, трехмер

ная области) и типом выбранного для расчетов конечного элемента.

Для конкретной геометрии ко нечного элемента в целях обеспе чения условий сходимости интер полирующий полином должен иметь определенное число пара метров i, называемых элементны ми. Полиномы с минимальным числом i используются в сим плексных элементах. Соответст венно, для одно , двух и трехмер ного случаев в декартовой системе интерполирующий полином имеет вид

U 1 2 x 3 y 4 z. (2.57, в)

Если коэффициенты i выра зить через координаты узлов эле мента и узловые значения функции Uj, то зависимости (2.57, а, б, в) со ответственно будут иметь вид

U N1U1 N 2U 2 ; (2.58, а)

U N1U1 N 2U 2 N 3U 3 ; (2.58, б)

U N1U1 N 2U 2

N1 (x2 x)l; N 2 (x x1 )l.

Для двухмерного треугольного элемента

N1 (a1 b1 x c1 y)2 ,

где a1 = x2 y3 x3 y2; b1 = y2 y3; c1 = = x3 x2; – площадь треугольника

123 (см. рис. 2.9, б). Выражения N2 и N3 получаются из N1 круговой пе рестановкой индексов в соответст вии с принятым направлением об

хода узлов 123 (против часовой стрелки).

Для трехмерного тетраэдного

элемента N1 = (a1 + b1x + c1y + + d1z)/6V,

где соответственно для одно , двух и трехмерных элементов матрица

строка [N]: [N] = [N1N2]; [N] = = [N1N2N3]; [N] = [N1N2N3N4]; {U e} –

вектор столбец узловых значений функции Uj .

Компоненты Ni называются ба зисными функциями, или функ циями формы элемента.

Если искомая функция U явля ется вектором (например, переме щение точек тела ,) и имеет состав ляющие по осям координат {,}Т = = [u, v] в двухмерном случае (пло ская и осесимметричная задачи),

или {,}Т = [u, v, w] в трехмерном случае (трехмерная задача), то в матричной форме соотношения, соответствующие выражениям (2.58), примут вид:

где {,e} – вектор столбец узловых перемещений.

В двухмерном случае

[N]=[EN1 EN 2 EN 3 ],

{, e }T

[u1 v1 w1u2 v2 w2u3 v3 w3u4 v4 w4 ].

(2.62)

С помощью функций формы строятся необходимые математиче ские зависимости при минимиза ции функционалов Ф(Т) и П и по следующего получения систем ал гебраических уравнений относи тельно неизвестных узловых значе ний искомых функций, в частно сти, температуры и перемещения. Функция формы Ni равняется еди нице в i м узле конечного элемента и обращается в нуль во всех осталь ных его узлах.

При применении конечных эле ментов повышенной точности (квадратичных или кубичных) с увеличенным по сравнению с сим плексными элементами числом уз

ловых точек функции формы Ni бу дут, естественно, иными. Для полу чения функций формы в общем случае применяют два подхода: ис пользование обобщенных коорди нат i элемента и использование интерполяционных формул.

По мере увеличения числа узло вых точек более предпочтителен второй подход. Функция U пред ставляется интерполирующим многочленом. В одномерном слу чае многочлен порядка р имеет вид

произведения.

В случае функций двух перемен ных U(x, y) интерполирование про водится последовательно по каж дой переменной в отдельности. Фиксируется y = yk, находят Uk(x) = = U(x, yk). Затем полученное значе ние U(x, yk) рассматривают как значение функции U с единствен ной переменной y. Результатом бу дет сумма с числом слагаемых, рав ным числу фиксированных yk. Так, для прямоугольного четырехузлового билинейного элемента (рис. 2.9, б) в результате получится

U 1 2 x 3 y 4 xy

l1 (y)l1 (x)U1 l1 (y)l2 (x)U2

где 2а = y4 y1; 2b = х2 х1.

Объединяя соответствующим

образом функции l1,2(x) и l1,2(y), по лучаем функции формы в виде

системе декартовых координат x, y, z, общей для области, занимаемой телом. Вычисления, связанные с определением различных характе ристик конечных элементов, на пример матриц теплопроводности, жесткости (о чем будет сказано ни же), рационально производить в локальных безразмерных коорди натах, которые иногда называют естественными. Вместо глобальных координат x, y, z соответственно вводятся естественные координаты 2, 9, :, начало которых находится в центре тяжести конечного элемен та. В пределах элемента каждая из координат изменяется в пределах от 1 до 1, что весьма удобно при проведении численного интегриро вания, используемого при вычис лениях, связанных с применением МКЭ. Применение естественных координат позволяет деформиро вать границы конечных элементов. В этом случае в исходной глобаль ной системе координат x, y, z ко нечные элементы могут быть кри волинейными, что повышает точ ность представления тел сложной геометрической формы. Теперь функции формы будут представ

ляться в естественных координа тах. Например, для одномерного симплексного элемента (рис. 2.9, а) функции формы в зависимости (2.58, а) примут вид

N1 0,5(1 2); N 2 0,5(1 2).

Втабл. 2.1 приведены функции формы различных конечных эле ментов в естественной системе ко ординат.

Вслучае треугольных (двухмер ная область) или тетраэдальных (трехмерная область) конечных элементов используются так назы ваемые безразмерные L координа ты. Для произвольной точки Р внутри треугольного элемента (рис. 2.9, б) каждая из трех коорди

нат L1, L2, L3 есть отношение рас стояния от этой точки до стороны, противоположной соответствую щей вершине 1, 2, 3 к высоте от этой вершины до указанной сторо ны, что равно также отношению площади соответствующего внут реннего треугольника с вершиной в точке Р к площади всего треуголь ника 123. Поэтому в двухмерном случае L координаты иногда назы вают координатами площади. Для треугольного симплексного эле мента функции формы совпадают с

L координатами: L1 = N1; L2 = N2; L3 = N3. С помощью L координат

удобно проведение интегрирова ния вдоль одной из сторон элемен та длиной l (на ней L3 = 0), а также по площади треугольного эле мента

что равно также соотношению объе мов соответствующего внутреннего тетраэдра с вершиной в точке Р к объему всего тетраэдра 1234. Потому в трехмерном случае L координаты иногда называют объемными коор динатами.

Для тетраэдра с четырьмя узлами L координаты совпадают с функци

ями формы: L1 = N1; L2 = N2; L3 = N3; L4 = N4. При этом во всех случаях

сумма Li равна 1.

Интегрирование по объему V тет раэдра производится по формуле

V

L1a Lb2 Lc3 L4d dV

Выше были приведены функции формы для треугольного симплекс ного элемента. В случае двухмерно го квадратичного треугольного эле мента (рис. 2.10, б) функции формы имеют вид

N5 L3 (2L3 1); N 6 4L1 L4 .

Вслучае объемного квадратич ного тетраэдального элемента (рис. 2.10, в) функции формы име ют вид:

в вершинах тетраэдра (точки i =

=1, 3, 5, 10)

N8 4L2 L4 ; N 9 4L3 L4 .

Всвязи с использованием есте ственных координат требуется вы полнять преобразование как функ ций формы, так и их производных при переходе от глобальных декар товых координат, в которых запи