Chainov_Ivashenko_Konstr_dvs_1 / Чайнов Иващенко - Конструирование ДВС

После преобразований получаем систему линейных уравнений для определения амплитуд колебаний приведенных масс:

Если массы элементов i и j не связаны одним участком, то cij = 0. Если система представляет собой неразветвленную цепочку приведен

где C – матрица жесткости; I – матрица инерционных членов; a – вектор неизвестных амплитуд коле баний;

Анализируя структуру матрицы жесткости, можно выявить законо мерность ее заполнения:

на главной диагонали распола гаются суммы жесткостей участков, прилегающих к рассматриваемой массе (стоящей в системе под но мером диагонального элемента);

недиагональные элементы ха рактеризуют связи между элемента ми с индексами элемента матрицы.

ных масс, пронумерованных в по рядке их следования, то матрица C будет трехдиагональной. Если систе ма имеет ответвления или номера присвоены массам вразбивку, в мат рице С появятся ненулевые элемен ты вне трех диагоналей.

Решение системы уравнений сво дится к определению собственных значений 2c и отысканию соот

ветствующих им собственных векто ров {a}, что требует решения уравне ния, получаемого из условия

Поскольку в реальных системах матрицы I и C симметричны, а матрица I является положительно определенной, то для решения уравнения можно использовать ме тод приведения к стандартной фор ме, основанный на использовании метода вращений Якоби. Применя ют и более быстрые методы Гивен са, QR алгоритмы, их модифика ции и др.

Решение задачи значительно уп рощается благодаря симметрично сти матриц инерции и жесткости.

Распределение относительных амплитуд закрутки масс крутильной системы по длине вала называют формой колебаний. Каждой собст

венной частоте 2cl (l = 1, …, m 1) крутильных колебаний соответству ет своя форма матрицы {a}l. Ампли туды можно определить как реше ние исходной системы уравнений (3.91) после подстановки в систему

значения 2cl .

Относительные амплитуды ко лебаний позволяют судить об отно сительной нагруженности крутиль ной системы в районе коленчатого вала. Наибольшее напряжение от крутильных колебаний будет иметь место на участках с максимальным углом наклона формы колебаний к горизонтальной оси.

Для определения истинных зна чений амплитуд и, соответственно, напряжений достаточно найти ам плитуду колебаний первой мотор ной массы на собственной частотеcl , которая определяется из усло вия равенства работ возмущающих моментов и моментов сил сопро тивления.

Крутящий момент двигателя изменяется по сложному перио дическому закону. Для изучения вынужденных крутильных коле баний приведенной системы дви гателя с потребителем энергии крутящий момент с помощью разложения в ряд Фурье приводят к сумме гармонически изменяю щихся моментов.

Периодом T изменения крутя щего момента одноцилиндрового четырехтактного двигателя явля ется время двух оборотов T =

=120/n, с, а двухтактного Т =

=60/n, с.

Разложение крутящего момента

вряд Фурье производится на осно вании теоремы Фурье, согласно ко торой всякую периодическую функцию, удовлетворяющую усло виям Дирихле, можно представить

ввиде сходящегося бесконечного гармонического ряда.

Крутящий момент, действую щий на колено вала,

няющихся моментов (гармоник);в = 2 /T – угловая скорость, зави сящая от периода изменения крутя щего момента двигателя; 1, 2, …,k – начальные фазы гармонически изменяющихся моментов; k – поря док гармонически изменяющегося момента.

Используя соотношения sin( + Φ) = = sin cosΦ + cos sinΦ и обозначая члены разложения:

(3.96)

Крутящий момент представляют в виде:

M M 0 B1 sin( в ) B2 sin(2 в ) ...

... A1 cos( в ) A2 cos(2 в ) ...

M 0 6(Bk sin(k в ) Ak cos(k в )) .

k 1

(3.97)

Коэффициенты Ak, Bk (коэффи циенты Фурье) и средний крутя

щий момент M0 определяются по формулам:

(3.98)

Для вычисления коэффициентов Фурье необходимо получить зависи мость крутящего момента от угла по ворота коленчатого вала. Крутящий момент на валу двигателя определя ется в результате динамического рас чета двигателя. Определив коэффи циенты Ak и Bk, вычисляют амплитуду M ka и фазу &k каждой k й гармоники.

Критическими называются наи более опасные режимы работы двигателя, которые характеризуют ся наибольшими значениями ам плитуд колебаний коленчатого вала и, следовательно, амплитуд дейст вующих напряжений. Целесообраз но выделить такие режимы в диа пазоне рабочих частот двигателя, чтобы расчет напряжений прово дить только для них.

Резкое увеличение амплитуд коле баний приведенных масс наблюдает ся при совпадении частоты возму щающей гармоники с частотой соб ственных колебаний системы, что яв ляется резонансом. Частота вынуж дающей силы определяется из гармо нического анализа крутящего момен та. Каждая резонансная частота опре деляется собственной частотой c, частотой вращения коленчатого валаи порядком возмущающей гармо

ники k i 2 ( – тактность двигателя,

i = 1, 2, 3 …)1 Спектр частот k й воз мущающей гармоники дискретный:в = k1 Из условия резонанса опре деляются резонансные частоты вра щения коленчатого вала:

k рез c ? рез c k. (3.99)

При работе двигателя на таких режимах k я гармоническая состав ляющая будет вызывать резонанс на данной собственной частоте. В общем случае количество собствен ных частот в m массовой системе равно m 1, а число порядков гар моник бесконечно. Поэтому теоре тически число резонансных режи мов работы двигателя также беско нечно. На практике число резо нансных режимов можно ограни чить, вводя диапазоны для собст венных частот и для числа гармо ник, в пределах которых будут оп ределяться резонансные режимы:

только те частоты рез, которые входят в диапазон рабочих частот вращения коленчатого вала двига

теля ( min < c/k < max); ограниченное число гармоник,

удовлетворяющее заданной точно сти определения крутящего момен та. Обычно достаточно рассмотреть 10–12 гармоник.

Конечной целью расчета кру тильной системы является опреде ление действующих в сечениях ко ленчатого вала напряжений.

Расчет проводится для резо нансных частот вращения коленча того вала. В выражении для напря жений фигурируют действитель ные амплитуды колебаний масс, определяемые с учетом действия внешней нагрузки (крутящего мо мента). Истинное значение ампли туд угловых колебаний приведен ных масс системы при резонансе определяется из уравнения баланса энергии.

Вследствие наличия внешнего и внутреннего сопротивлений ре зонансные амплитуды будут воз растать до тех пор, пока не уста новится равновесие между энер гией, сообщаемой системе возму щающей гармоникой Mk (работа внешних сил Ak) и энергией, рас ходуемой на рассеивание полу ченной энергии (работа сил внут реннего сопротивления Akc). Демпфирующие силы и моменты частично поглощают энергию ко лебаний, которая преобразуется в тепловую энергию и отводится в окружающую среду.

При расчете действительных ам плитуд колебаний принимаются следующие допущения:

формы свободных и вынужден ных колебаний совпадают (что и наблюдается в реальных системах с относительно небольшим трени ем);

на данном режиме работы дви гателя крутящий момент изменяет ся идентично на всех коленах вала (индикаторная диаграмма одина кова для всех цилиндров).

Касательные напряжения от кру чения ij на отдельных участках [i, j] пропорциональны амплитудам ко лебаний прилежащих масс:

ij cij (ai aij )sin W0 , (3.100)

где W0 = ( D3/16) [1 (d1внd1)4] – мо мент сопротивления кручению

приведенного вала; d1 и d1вн – на ружный и внутренний диаметры приведенного вала (коренной шей ки).

В результате гармонического анализа крутящего момента выде лены отдельные гармоники низ ших (наиболее опасных) порядков.

При рез = c/k в системе устанав ливаются резонансные колебания

на частоте c.

Рассмотрим резонансные кру тильные колебания системы при действии на нее гармоники поряд ка k:

работу только на моторных мас сах, для остальных масс системы вынуждающая сила равна нулю. Согласно допущению об идентич ности изменения крутящего мо мента на всех кривошипах, гармо ники, действующие на последова тельно работающие цилиндры, будут одинаковы по форме, и от личаются только фазой на угол чередования вспышек , = /q (q – число цилиндров; – такт ность). Сдвиг по фазе между гар мониками, действующими на пер вую и i ю моторную массу, назы вается фазовым углом.

Если принять за начало отсчета времени момент, когда амплитуда k й гармоники на первой шатунной шейке достигает максимума (Mk =

где Mki – гармонический момент порядка k, действующий на i ю мо торную массу; ,i – угол между вспышками в первом и i м цилинд рах.

Система реагирует на внешнее возмущение с некоторым фазовым сдвигом. Угол сдвига принимают одинаковым для всех моторных масс, равным k, и определяют ис

ходя из максимума работы возму щающей гармоники. Тогда в при нятой системе отсчета закон дви жения для моторных масс:

После интегрирования в преде лах цикла получим работу k й гар моники на i м колене за период ко лебаний

Суммируя по всем моторным массам, получаем полную работу k й гармоники за цикл

где q – число цилиндров.

Угол запаздывания определяет ся из условия максимума работы возмущающей гармоники при ре зонансе:

Отсюда следует

Подставляя полученное значе ние в выражение для работы k й гармоники, получаем работу k й гармоники при резонансе (макси мальное значение):

– векторная сумма амплитуд выну жденных колебаний моторных масс.

Из полученной формулы видно, что равнодействующий вектор пере мещений моторных масс 6ai полу чается путем векторного сложения q векторов, по величине равных ам плитуде колебаний ai и повернутых на фазовый угол k,i относительно вектора перемещения первой мотор ной массы a1.

Очевидно геометрическая сумма векторов будет иметь максималь ную величину, если направления суммируемых векторов совпадают, т.е. все фазовые углы k,i будут крат ны 2 . Тогда геометрическая сумма превращается в алгебраическую. Гармоники, вызывающие подоб ную картину, называют главными.

Следующий по величине (в по рядке их убывания) максимум бу дет иметь место, когда векторы ам плитуд направлены в разные сторо ны вдоль одной прямой; фазовые углы k,i будут кратны и 21 Гар моники соответствующих порядков называют сильными.

Любые другие комбинации век торов амплитуд перемещений мо торных масс будут давать заведомо меньшую по величине векторную сумму. В связи с этим расчет каса тельных напряжений ведется толь ко для главных и сильных гармо ник.

Силы трения, действующие в реальной системе, препятствуют увеличению амплитуд крутильных колебаний при резонансе.

Демпфирование колебаний главным образом определяется си лами трения в цилиндропоршне вой группе и подшипниках, удара ми при перекладке деталей в соеди нениях КШМ и привода, внутрен ним трением в материалах деталей (гистерезис). Физические основы рассеивания энергии колебаний в каждом элементе двигателя изуче ны еще недостаточно, поэтому их оценивают интегрально, вводя по луэмпирические коэффициенты. Все виды трения сводят к внешне му (жидкостное трение в подшип никах) и внутреннему (трение в ма териале).

Влияние сил трения учитывает ся только на участках коленчатого вала.

Обычно внешнее трение про является как гидродинамические силы трения в подшипниках скольжения, пропорциональные угловой скорости коленчатого ва ла d&/d .

Момент сил трения в подшип никах, отнесенных к i й моторной массе:

где 2i – эквивалентный коэффициент демпфирования для одного колена вала, получаемый эксперименталь ным путем и учитывающий все виды

внешнего сопротивления, Н3м3с. При расчетах коэффициент 2i принимают одинаковым для всех колен вала. Его значение определяют через удельный коэффициент демпфирования 2

2(R 2 Fп ) [Н3(с/м3)], который зави сит от типа двигателя (табл. 3.4).

3.4.Удельный коэффициент демпфирования 2 в зависимости от типа двигателя

Элементарная работа момента сопротивления i й приведенной массы

Учитывая закон колебаний i й массы и проводя интегрирование в пределах цикла, получаем работу на i й массе A2i за цикл

Полная работа A2 всех сил внеш него сопротивления равна сумме работ, совершаемых на отдельных участках коленчатого вала:

Внутреннее трение в материале при циклических деформациях ха рактеризуется зависимостью между

напряжением и деформацией – петлей гистерезиса. За каждый цикл колебаний рассеивается некоторое количество энергии U. Это явле ние характеризуется коэффициен том поглощения Ε, который опре деляет долю рассеиваемой энергии.

Значения коэффициентов по глощения Ε при одноосном напря женном состоянии можно принять такими:

•для стали 0,01–0,02;

•для чугуна 0,2–0,3.

Тогда работа сил внутреннего со противления при кручении участка (i; i+1) за период колебаний:

Проводя суммирование по уча сткам вала, получим выражение для полной работы сил внутреннего трения в двигателе:

Суммарная работа сил сопротив ления коленчатого вала крутильным колебаниям под действием возму щающей гармоники k го порядка:

Для определения действующих касательных напряжений необхо димо найти истинные значения ам плитуд колебаний приведенных масс. Амплитуды колебаний на

пряжений будут иметь максималь ные значения, когда частота дейст вия возмущающей силы (k й гар моники крутящего момента) равна собственной частоте колебаний системы. При этом наиболее ощу тимым будет действие сильных и главных гармоник. Определяют ис тинные значения амплитуд при действии на систему сильных и главных гармоник Mk для каждой резонансной частоты вращения

рез = c/k, где k – порядок главной или сильной гармоники.

При резонансе в системе уста навливается равновесие подводи мой и отводимой энергии, т.е. ра бота Ak крутящего момента на мо торных массах равна работе Akc сил сопротивления масс и прилежащих к ним участков приведенного вала крутильным колебаниям:

q

Ak 6max M ka 6ai 2k рез 6ai2

i 1

Согласно принятому допущению, на данной собственной частоте фор ма вынужденных колебаний системы значительно не отличается от формы собственных колебаний, а, значит, амплитуды ai колебаний масс в урав нении баланса энергий могут быть выражены через относительные ам плитуды ai свободных колебаний:

ai ( рез ) a1 ( рез )ai ( c ). (3.117)

С учетом выражения (3.116) оп ределяют амплитуду колебаний первой приведенной массы

Таким образом, амплитуды дей ствующих касательных напряжений

ii 1 ( рез ) cii 1 (ai ai 1 )

W0

cii 1a1 ( рез )(ai ai 1 ) ; i 1...q,

W0

противления кручению вала; q – число цилиндров.

Из касательных напряжений, действующих для данного резо нансного режима на различных уча стках коленчатого вала (включая его задний конец), выбирается макси мальное и сравнивается с допусти мым значением напряжений при крутильных колебаниях:

max ( рез ) max{ ii 1 ( рез );

#

i 1,...,q} < [ ]кк 30 40 МПа.

(3.120)

3.3.Особенности кинематики

идинамики роторно поршневых

двигателей

В роторно поршневых двигате лях ротор треугольного поперечного сечения вращается на эксцентрике внутри цилиндрического объема с эпитрохоидной боковой поверхно стью. Рабочие полости образуются внешней эпитрохоидной поверхно стью, боковыми плоскостями и по верхностью ротора. Планетарное движение ротора обеспечивается внутренним зацеплением шестерни ротора с неподвижной шестерней, расположенной на корпусе двигате ля. Опорные подшипники эксцен трикового вала размещены в корпусе.

Для вывода уравнения эпитро хоиды воспользуемся схемой, по казанной на рис. 3.27.

Рис. 3.27. Схема образования эпитрохоиды

Производящая точка А, лежа щая вне движущейся окружности (в данном случае вершина ротора), связанная с окружностью радиуса R, которая обкатывается без скольжения вокруг окружности ра диуса r, описывает кривую эпи трохоиду. В прямоугольной систе ме координат х–у уравнение тео ретического профиля эпитрохоиды имеет вид

xecos acosΕ ;

#(3.121)

e sin asinΕ ,y

где е – эксцентриситет; a – рас стояние от точки А до центра ро тора; и Ε – соответственно углы поворота эксцентрикового вала и ротора.

При отсутствии скольжения ок ружностей при их обкатывании

где z = R/e.

Угол поворота ротора изменяет ся в пределах 0 < Ε < 2 .

В общем случае могут исполь зоваться трохоиды, когда радиусы окружностей r и R шестерен от носятся как целые числа: 1:2; 2:3; 3:4 и т.д. Наибольшее распро странение получили конструк ции, в которых r :R = 2:3. Так как е = R r, а z = 3, то в данном

Рис. 3.28. Огибающие семейства трохоид

случае Ε = /3 и уравнения (3.121) примут вид:

где c = a/R – параметр формы. Профиль ротора строится по внут

ренней огибающей семейства трохоид, которые получаются при обкатывании окружностью вместе с эпитрохоидой неподвижную большую окружность без скольжения. Семейство получен ных трохоид и профиль огибающих показаны на рис. 3.28.

Уравнение внутренней огибаю щей, т.е. профиля ротора в системе координат, связанной с ротором при z = 3, имеет вид:

Рис. 3.29. Профили ротора и эпитрохоиды РПД

В результате расчетов получаем половину дуги одной грани ротора, а профили двух других граней дост раиваются симметрично (рис. 3.29).

Действительный контур эпитро хоиды корригируется на несколько миллиметров для лучшего согласо вания работы уплотнений и контура.

Максимальная и минимальная площади поперечного сечения ра бочей камеры, образуемой теорети ческим контуром эпитрохоиды и огибающей профиля ротора, опре деляются из выражений:

(3.125) Если профиль эпитрохоиды кор ригирован, это необходимо учиты вать при определении действитель ного объема рабочей камеры, уве личивая площадь поперечного сече

ния рабочей камеры.

ротора определяется из выраже ния

Степень сжатия определяется как отношение максимального и минимального объемов рабочей ка меры. Однако в данном случае сте пень сжатия получается слишком высокой для бензинового двигате ля, поэтому для ее снижения в гра нях ротора делают выемку. С учетом объема выемки Vв степень сжатия

+ (Vmax Vв )(Vmin Vв ). (3.127)

При заданной степени сжатия + объем выемки

Vв (Vmax +Vmin )(+ 1). (3.128)

Сучетом выражений (3.125) и (3.126) объем рабочей камеры при любом положении ротора

Vт Vhт [0,5(1 cos(2Ε 3)) 1(+ 1)]. (3.129)

Отношение угловых скоростей 1 ротора и эксцентрикового вала 2 при внутреннем зацеплении синхро низирующих шестерен

1 2 eR.

Для случая r/R = 2/3; 1/ 2 = 1/3 эксцентриковый вал вращается в три раза быстрее, чем ротор.

После дифференцирования и пре образований уравнений (3.124) выра жения проекций скорости вершин ротора имеет вид:

Абсолютная скорость вершин ро тора

Μ Μ 2x Μ 2y 3 1 e1 c 2 2ccos2Ε . (3.131)

Приближенное выражение сред ней скорости вершин ротора

Μ cp 3 1 ec 2 1. (3.132)

Действительная средняя скорость движения вершин ротора будет при близительно на 5 % меньше величи

ны 0cp.

После дифференцирования вы ражений (3.130) уравнения проек ций ускорения вершин ротора при мут вид:

Абсолютное ускорение вершин ротора

j jx j y 3 12 e9 c 2 6ccos2Ε .

вершин ротора по углу поворота ро тора показано на рис. 3.30.

Рис. 3.30. Зависимость относительных скоро сти и ускорения вершин ротора от угла поворо та ротора