2.ФОРМАЛЬНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ АБСТРАКТНЫХ АВТОМАТОВ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.1. Словесные определения автоматов

Формализации (представлению в математической форме) любого понятия предшествует попытка словесного выражения (определения) данного понятия. В этой связи представляет интерес проследить трансформацию во времени словесных определений понятия "автомат".

В энциклопедии "Просвещение" 1900 года издания дается следующее определение (определение 1): "Автомат – прибор, помощью внутреннего механизма подражающий действиям живых существ". Из данного определения следует, что автомат - материальный объект (т.к. прибор); внутри этого материального объекта находится некий механизм; этот механизм действует так, что поведение автомата в целом похоже на действия каких - то живых существ. В соответствии с рассмотренным определением попытаемся выяснить: являются ли механические часы автоматом? Часы - материальный объект; внутри часов работает механизм, отсчитывающий время. Но, действиям какого живого существа подражают обыкновенные механические часы? Таким образом, в соответствии с рассмотренным определением обыкновенные механические часы не могут быть названы "автоматом", т.к. они не подражают действиям какого-либо живого существа.

Рассмотрим модификацию механических часов, которые кроме часового механизма снабжены еще дополнительным механизмом. Таким механизмом может быть петушок, кукарекающий каждый раз, когда часы показывают какое-либо определенное время. В таком случае часы, с кукарекающим через определенные интервалы времени петушком, могут быть отнесены, по определению, к автоматам. Но кукарекать петушка можно "заставить" и без часов, которые отмеривают ре-

15

альное время. Следовательно, действительным автоматом, по определению, является только кукарекающий петушок. А что если внутри кукарекающего петушка будут отсутствовать механические детали? Можно ли в таком случае отнести такого петушка к автоматам?

Как видно, рассмотренное определение автомата несколько противоречиво, и достаточно широкое, так как "живых существ" – огромное множество, включая и человека.

Рассмотрим некоторые последующие словесные определения автомата, не вдаваясь в достаточно глубокий их анализ.

В [8] (1963 год) дается следующее определение (определение 2).

Автомат (от греческого automatus - самодействующий) - рабочая машина, самостоятельно производящая все рабочие, холостые, транспортирующие и др. движения и осуществляющая управление этими движениями.

В [9] (1980 год) еще более уточняется понятие автомата (определение 3).

Автомат (от греческого automatus - самодействующий):

•устройство (совокупность устройств), выполняющее по заданной программе без непосредственного участия человека все операции в процессах получения, преобразования, передачи и распределения (использования) энергии, материалов или информации. Программа автомата задается в его конструкции или извне - посредством перфокарт, магнитных лент и т.п.;

•в кибернетике: математическая модель устройства (процесса), перерабатывающего дискретную (цифровую) информацию.

В [10] (1988 год) приводится следующее определение (определение 4).

Автомат – устройство, предназначенное для выполнения целенаправленных действий без непосредственного участия человека.

16

Автомат абстрактный – математическая модель автомата (по определению 4), определяемая заданием трех множеств (входных сигналов, внутренних состояний и выходных сигналов) и двух двуместных функций (переходов и выходов). Функция переходов отображает первые два множества на второе, а функция выходов отображает первые два множества на третье.

Автомат структурный – автомат абстрактный, заданный множеством его элементов и схемой их соединения.

Последнее словесное определение дает возможность перейти к формальному определению понятия автомата.

2.2. Формальное определение абстрактного автомата

Математической моделью дискретного устройства является абстрактный автомат, определяемый как шестикомпонентный кортеж, или вектор [11]:

A={a1,…am…aM} - множество состояний автомата (алфавит состояний);

W={w1,…wg…wG} – множество выходных сигналов автомата (выходной алфавит);

δ : A х Z → A – функция переходов автомата, реализующая отображение Dδ A х Z на A. Другими словами, функцияδ некоторым парам состояние - входной сигнал (am, zf) ставит в соответствие состояние автомата as = δ(am, zf), as A;

λ : A х Z → W – функция выходов, реализующая отображение Dλ A х Z на W, которая некоторым парам состояние -

входной сигнал (am, zf) ставит в соответствие выходной сигнал

автомата wg = λ (am, zf);

a1 A – начальное состояния автомата.

17

Под алфавитом здесь понимается непустое множество попарно различных символов. Элементы алфавита называются буквами, а конечная упорядоченная последовательность букв - словом в данном алфавите.

Абстрактный автомат имеет один вход и один выход. Автомат работает в дискретном времени, принимающем целые неотрицательные значения t = 0,1,2,… В каждый момент t дискретного времени автомат находится в некотором состоянии a(t) из множества состояний автомата, причем в начальный момент времени t(0) автомат может находиться в начальном состоянии a(0) = a1. В момент t, будучи в состоянии a(t), автомат способен воспринять на входе букву входного алфавита z(t) Z. В соответствии с функцией выходов он выдает в тот же момент времени t букву выходного алфавита w(t) = λ (a(t), z(t)) и в соответствии с функцией переходов перейдет в следующее состояние a(t +1) = δ (a(t), z(t)), причем a(t +1) A, а w(t) W. Смысл понятия абстрактного автомата состоит в том, что он реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита Z в множество слов выходного алфавита W. Иначе, если на вход автомата, установленного в начальное состояние a1, подавать буква за буквой некоторую последовательность букв входного алфавита z(0), z(1), z(2), … – входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита w(0), w(1), w(2), … – выходное слово. Каждому входному слову соответствует определенное выходное слово, структура которого определяется функциями переходов и выходов. Таким образом, на уровне абстрактной теории понятие "работа автомата" понимается как преобразование входных слов в выходные слова.

Структурной моделью нулевого уровня абстрактного автомата является модель, представленная на рис. 2.1. В том

случае, когда отображения Dδ = Dλ = A х Z, автомат называют полностью определенным или полным.

18