пяти 1-кубов: K1 ={-11, 10-, 1-0, 1-1, 11-} и определяет все множество ребер, на которых функция Y принимает единичные значения (рис. 6.7,б).

Если два единичных куба из комплекса K1 имеют общую независимую координату и различаются только по одной координате, то они образуют один 2-куб (двоичный куб). Его запись состоит из общих компонент 1-кубов, а координата, принимающая различные значения в 1-кубах, обозначается в 2-кубе как независимая координата «-» (пробел). Например, два единичных куба 1-0 и 1-1 образуют один двоичный куб 1--.

ветствующего грани трехмерного куба (рис. 6.7, в). Размерность куба определяется числом независимых координат (символов «-»).

Объединение кубических комплексов К0, К1, … Кn функции f(x1, x2,…,xn) образует кубический комплекс функции К(f). Для рассматриваемого примера комплекс К(f) соответствует объединению комплексов К0 , К1 и К2.

В отличие от аналитических форм записи логических функций, в которых используется большой набор индексированных букв и математических знаков, кубические представления позволяют задавать логические функции в виде множества кубов, компонентами которых являются только три символа; 0, 1, - . Ограниченное число символов в записи функций позволяет использовать кубические представления в ЭВМ при решении задач автоматизированного логического проектирования комбинационных автоматов.

7. МИНИМИЗАЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Целью минимизации логических функций является получение более простых аналитических выражений, что в свою очередь позволит осуществить более простую реализацию соответствующего комбинационного автомата.

92

Для рассмотрения вопроса минимизации необходимо сформулировать следующие определения.

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой

(СДНФ) логической функции f (x1,..., xn ) называется дизъюнк-

ция элементарных конъюнкций максимального ранга, соответствующих наборам входных переменных, на которых значение логической функции равно 1.

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) логической функции f (x1,..., xn ) называется дизъюнкция элементарных

конъюнкций функции, ранг хотя бы одной из которых меньше максимального ранга.

Сокращенной дизъюнктивной нормальной формой ло-

гической функции f (x1,..., xn ) называется такая ДНФ, реали-

зующая f (x1,..., xn ), которая состоит из элементарных конъ-

юнкций, ранг хотя бы одной из которых меньше максимального ранга и которые не могут быть более склеены между собой. Такие элементарные конъюнкции принято называть

импликантами.

Тупиковой дизъюнктивной нормальной формой логиче-

ской функции f (x1,..., xn ) называется такая ДНФ, реализующая

f (x1,..., xn ), в которой ни одна из импликант не является лиш-

ней, то есть ни одна из импликант не может быть удалена из формулы.

Кратчайшей дизъюнктивной нормальной формой ло-

гической функции f (x1,..., xn ) называется такая ДНФ, реали-

зующая f (x1,..., xn ), в которой количество импликант мини-

мально по сравнению с другими ДНФ, реализующими функ-

цию f (x1,..., xn ).

Минимальной дизъюнктивной нормальной формой ло-

гической функции f (x1,..., xn ) называется такая ДНФ, реализующая f (x1,..., xn ), в которой минимально количество букв

93

переменных по сравнению с другими ДНФ, реализующими функцию f (x1,..., xn ).

Общую схему минимизации логических функций можно проиллюстрировать следующим образом:

Исходная таблица истинности

СДНФ логической функции

Сокращенная ДНФ функции

Тупиковая ДНФ функции

Кратчайшая и минимальная

ДНФ функции

Задача минимизации логических функций осложнена следующими обстоятельствами:

1. Общее количество ДНФ логической функции f (x1,..., xn ), зависящей от n-переменных, определяется величи-

ной 23n . Число “3” определяется тем, что возможны три исхода: любая логическая переменная может входить в ДНФ со значением инверсии, без знака инверсии, может не входить в

элементарную конъюнкцию, то есть D = 23n , где D - мощ-

ность множества D, состоящего из объектов ДНФ логической функции f (x1,..., xn ) [22].

2. Среди множества D содержится одна единственная СДНФ логической функции f (x1,..., xn ) и некоторое количество тождественных ей сокращенных и тупиковых ДНФ, реализующих функцию f (x1,..., xn ). В настоящее время не существует какого-либо способа определения общего количества тож-

94

дественных ДНФ, реализующих одну и ту же логическую функцию.

3. Вид тождественной ДНФ логической функции существенно зависит от формы записи СДНФ и порядка преобразований, производимых над СДНФ логической функции.

Все известные на сегодня способы минимизации логических функций могут быть поделены на 2 большие группы:

1.Методы минимизации одновыходных (одиночных) логических функций.

2.Методы минимизации системы логических функций, зависящих от n-аргументов.

Среди методов первой группы выделяют следующие методы: прямые аналитические преобразования логических функций, визуальные методы минимизации с помощью специальных таблиц, машинно-ориентированные методы минимизации.

Все методы минимизации одновыходных логических функций базируются на следующих операциях:

склеивание.

4.K1 K 2 + K1 = K1 - поглощение.

7.1.Методы минимизации логических функций на основе прямых аналитических преобразований СДНФ

Одним из первых таких, строго формализованных, методов является метод Квайна. Сущность этого метода состоит в следующем: если над минтермами исходной СДНФ произвести сначала все возможные операции неполного склеивания, а затем над полученным выражением все возможные операции

95

поглощения, то в результате многократно выполненных таких преобразований будет получена сокращенная ДНФ.

Проиллюстрируем применение метода Квайна для ми-

Выпишем СДНФ функции F(a,b,c) :

F СДНФ (a,b,c) = abc + abc + abc + abc + abc + abc (7.1)

Пронумеруем каждую конъюнкцию из (7.1) следующим образом:

Затем, склеиваем (если это возможно) каждый из членов выражения (7.2) с последующими членами и записываем полученные импликанты так, как показано в табл. 7.2.

96

Соединяя полученные импликанты знаками дизъюнкции, получаем сокращенную ДНФ логической функции F(a,b,c) :

Используя метод Квайна для минимизации логических функций необходимо помнить о том, что в этом методе используется операция неполного склеивания. Если в СДНФ, реализующей логическую функцию, присутствует конъюнкция, которая не может быть склеена ни с одной последующей

97