Введем следующие обозначения для состояний автомата A3, входящих в один класс эквивалентных состояний
Qa={Q1, Q3, Q5}, Qb={Q2, Q4}, Qc={Q9}, Qd={Q6}, Qe={Q5, Q7}.
Эквивалентные состояния на рис. 5.4. объединены штриховой линией. Применяя описанную выше процедуру к графу A3, изображенному на рис. 5.4, получаем граф переходов минимального автомата A'3, показанный на рис. 5.5. Состояния Q2 и Q4 (рис. 5.4), объединенные в состояние Qb, соединены двумя дугами, не выходящими за пределы контура, образованного штриховой линией. Это означает, что при по-
ступлении символа β или γ состояние автомата Qb не изменяется, поэтому в графе переходов минимального автомата A'3
(рис. 5.5) у состояния Qb имеется петля (β, 1)v(γ. 1).
(γ,0)
|
|
(γ,0) |
|
|
Qa |
(α,1)v(β,0 |
Qb |
(β,0 |
Qe |
|
(α,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(β,1)v(γ,1) |
|
|
|
|
(α,0 |
(α,1 |
|
(α,0)v(γ,1 |
|
Qd |
(β,1 |
Qc |
|
|
(γ,1) |
|
|
|
|
|
|
(β,1 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.5. Граф минимального автомата А3'
6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
6.1. Формальное определение алгебры логики
Алгебра логики является теоретической основой проектирования современных цифровых автоматов и базируется на символической логике, предложенной математиком Джорджем Булем. Существует множество формальных определений бу-
69
левых алгебр [18,19], зависящих от различных подходов к выбранной системе аксиом.
Булева алгебра может быть определена как алгебраическая система, удовлетворяющая следующим аксиомам [20].
Булевой алгеброй является система, состоящая из множества B = {a, b, c...} и двух типов операторов «+» и «*» (ло-
гическая сумма и логическое произведение), для которых справедливы следующие пять соотношений:
a + b = b + a, |
a * b = b * a |
для любых |
a,b B |
(коммутативность); |
|
(6.1) |
|
a + (b * c) = (a +b) * (a + c), a * (b + c) = a *b + a * c |
|||
для любых |
a,b,c B |
|
|
(дистрибутивность); |
|
(6.2) |
|
найдутся, 1 B и 0 B такие, что |
|
||
a + 0 = a, a *1 = a |
|
|
|
для любого a B (единичные элементы); |
(6.3) |
||
найдется, a B такой, что |
a + a =1, a * a = 0 для |
||
любого a B (дополнение); |
|
(6.4) |
|
a + b + c +... = max(a,b,c,...); |
|
|
|
a * b * c *... = min(a,b, c,...); |
|
(6.5) |
|
сучетом того, что 1 > 0.
Валгебре логики определены отношение эквивалентности (=) и три логические операции [1]: дизъюнкция (логическое сложение, операция ИЛИ); конъюнкция (логическое умножение, операция И); отрицание (инверсия, операция НЕ).
Одним из вариантов булевой алгебры может служить алгебраическая система, в которой множество B содержит все-
го два элемента B ={0, 1}, которые одновременно являются единичными элементами. При этом, соотношение (6.4) можно
70