2760.Практикум по теории механизмов и механике систем машин

звена от нулевого

Рис. 2.6. Алгоритм кинематического анализа

Блок-схема может быть дополнена блоком проверки существования механизма, выводами полученных результатов, печатью графиков и т.п. При проведении кинематического анализа систем известны схема рычажного механизма, размеры звеньев и закон движения входного звена. Для удобства дальнейшего изложения введем ряд допущений и обозначений:

1.Углы, образованные звеньями механизма с осью X системы координат, отсчитываются от положительного направления оси X против часовой стрелки, обозначаются через φk.

2.Входное звено механизма обозначается индексом 1, и, например,

вслучае вращательного движения оно имеет известные угловую скорость φ1 и угловое ускорение ε1.

3.Угловая скорость и угловое ускорение k-го звена обозначаются как ωk и εk, а скорость и ускорение точки этого звена как VSK и aSK.

51

4. Значения угловой скорости и углового ускорения звена k выражают-

6. Так как угол поворота k-го звена является функцией времени, то верны соотношения

d (cosϕk ) = (cosϕk ) = − sin ϕk ϕk = −ωk sin ϕk , dt

d (sin ϕk ) = (sin ϕk ) = − cos nϕk ϕk = −ωk cosϕk . dt

Рассмотрим ряд приемов определения кинематических характеристик некоторых механизмов, широко применяемых в машинах.

52

2.9.2. Кривошипно-ползунный механизм

Рассмотрим такой случай сборки механизма, когда при обходе по часовой стрелке сохраняется контур с последовательностью ABCDA (рис. 2.7).

В проекциях на оси системы координат ХАY уравнение (2.7) представляется зависимостями

так как φ3 = 270°, φ4 = 180°. Из второго уравнения системы (2.8) определяется угол φ2, характеризующий положение шатуна:

Текущее положение ползуна (точка С) находится по формуле xC = l4 = l1 cosϕ1 + l2 cos ϕ 2 = l1 cosϕ1 + l2 ,

53

Максимальный ход ползуна

Текущее перемещение ползуна относительно одного из крайних положений, например, левого:

Задача о скоростях

Используя результаты решения задачи о положениях, угловую скорость шатуна можно найти дифференцированием по времени (2.9):

Задача об ускорениях

Эта задача решается путем дифференцирования первых производных, полученных для определения скоростей:

Для определения положений центров масс звеньев (например точка S2 шатуна) и других точек звеньев (например точка K) записываем векторные уравнения:

54

Впроекциях на оси координат перемещения этих точек в соответствии

ссоотношениями (2.16) будут следующими:

Дифференцируя соотношения (2.16), получим скорости точек S2 и K:

где ϕS2 , ϕVk – направляющий угол вектора полной скорости относительно

оси АХ. Следует учесть, что φk – const. Аналогичным способом находятся ускорения точек S2 и K:

55

П р и м е ч а н и е . В некоторых механизмах длина шатуна существенно больше длины кривошипа, т.е. λ2 < < 1. В этом случае для определения кинематических характеристик используют приближенные, более простые по сравнению с соотношениями (2.9)–(2.8) формулы, полученные на основе разложения радикалов в ряд по формуле бинома Ньютона.

2.9.3. Шарнирный четырехзвенник

Кинематический анализ проводим для схемы механизма, представленной на рис. 2.8. Система координат выбирается так, чтобы ось АХ была направлена от точки 1 до D.

Рис. 2.8. Схема шарнирного четырехзвенника

Уравнение замкнутого векторного контура АВСD имеет вид

В проекциях на оси координат это уравнение записывается следующим образом:

так как φ3 = 0.

Соотношение (2.20) удобно использовать при решении задач о скоростях и ускорении. При определении же положения звеньев пользуются более удобными для решения на компьютере формулами.

56

Задача о положениях

Из треугольника АВD находится длина вспомогательного вектора l5.

Далее в соответствии с рис. 2.8 определяются дополнительные углы:

Тогда значения углов поворотов звеньев ВС и CD с учетом рис. 2.8 определяются соотношениями

Задача о скоростях

Дифференцируя уравнения (2.20), получаем систему уравнений, из которых находим угловые скорости ω2 и ω3.

57

Линейные скорости точек:

xB = −l1ω1 sin ϕ1, yB = l1ω1 cos ϕ1,

VB = l1ω1,

xC = xB − l1λ2ω2 sin ϕ2 , yC = yB + l1λ2ω2 cos ϕ2 , VC = l1λ Bω3.

Задача об ускорениях

Продифференцировав выражение (2.24) для проекции скоростей, получаем уравнение для определения угловых скоростей ε2 и ε3:

− cosϕ1ω12 − sinϕ1ε1 = λ2 cosϕ2ω22 + λ2ε2 sinϕ2 − λ3 cosϕ3ω32 − λ3ε3 sinϕ3,

−sinϕ1ω12 + cosϕ1ε1 = λ2 sinϕ2ω22 + λ2ε2 cosϕ2 − λ3 sinϕ3ω32 − λ3ε3 cosϕ3,

×[cos(ϕ1 − ϕ3 )sin(ϕ2 − ϕ3 )(ω1 − ω3 ) − cos(ϕ2 − ϕ3 ) sin(ϕ1 − ϕ3 )(ω2 − ω3 )],

Линейное ускорение точек будет следующим:

xB = −l1ω12 cosϕ1 − l1ε1 sin ϕ1,yB = −l1ω12 sin ϕ1 + l1ε1 cosϕ1,

aB = l1ω14 + ε12 ,

xC = xB − l1λ2 (ω22 cosϕ2 − ε2 sin ϕ2 ),yC = yB − l1λ2 (ω22 sin ϕ 2 −ε2 cosϕ2 ),

58

Значения кинематических характеристик центров масс звеньев и других точек звеньев определяются по методике, аналогичной методике использования кривошипно-ползунного механизма. Фрагмент результатов расчетов на компьютере кинематики шарнирного четырехзвенника представлен на рис. 2.9–2.12.

Рис. 2.9. Угловое перемещение коромысла

Рис. 2.10. Изменение угловой скорости коромысла

59