2760.Практикум по теории механизмов и механике систем машин

При совершении двух конечных поворотов тела вокруг осей, определяемых ортами e1 , e2 , результирующий поворот находится по формуле

вектора.

Последняя формула показывает, что результирующий поворот двух конечных поворотов твердого тела вокруг неподвижных осей зависит от порядка выполнения этих поворотов.

8.5.2. Решение задач кинематики методом преобразования координат

Первая и основная задача кинематики – определение функции положения. В прямой задаче о положениях необходимо определить положение выходного звена как функцию перемещений в приводах, в обратной – перемещения в приводах как функцию заданного положения выходного звена.

При решении прямой задачи о положении схвата манипулятора обычно используют метод преобразования координат. Из множества методов преобразования координат [1, 2], которые отличаются друг от друга правилами выбора осей локальных систем координат, для манипуляторов обычно используется метод Дж. Денавита и Р. Хартенберга.

Опишем два вида матриц:

–матрицы М, определяющие отношение между системами координат соседних звеньев;

–матрицы Т, определяющие положение и ориентацию каждого звена механизма в неподвижной или базовой системе координат.

Воспользуемся однородными координатами трехмерного проективного пространства РR3, в которых движение эвклидова пространства R3 можно представить линейным преобразованием

переноса.

211

Это преобразование эквивалентно преобразованию в эвклидовом про-

ет поворот, определяемый матрицей Uij размерностью 3×3, и параллельный перенос, задаваемый вектором b размерностью 3. В однородном пространстве положение точки будут определять не три x, y и z, а четыре величины x', y', z' и t', которые удовлетворяют следующим соотношениям:

x = x'/t', y = y'/t', z = z'/t'.

Обычно принимают t' = 1. У матрицы поворота Uij элементами uij являются направляющие косинусы углов между новой осью i и старой осью j. Вектор b = (x, y, z) является трехмерным и определяет положение начала

новой системы координат i в старой системе j.

Выбор расположения и ориентации локальных систем координат должен соответствовать типу решаемой задачи (прямая или обратная).

При использовании метода Денавита–Хартенберга оси координат располагаются по следующим правилам:

1.Для звена i ось zi направляется по оси кинематической пары, образуемой им со звеном (i + 1). Начало координат размещают в геометрическом центре этой пары.

2.Ось xi направляется по общему перпендикуляру к осям zi–1 и zi с направлением от zi–1 к zi. Если оси zi–1 и zi совпадают, то xi перпендикулярна им и направлена произвольно. Если они пересекаются в центре кинематиче-

ской пары, то начало координат располагается в точке пересечения, а ось xi направляется по правилу векторного произведения xi = zi × zi−1 (кратчайший

поворот оси zi до совмещения с zi–1 при наблюдении с конца xi должен происходить против часовой стрелки).

3. Ось yi направляется так, чтобы система координат была правой.

В прямой задаче необходимо определить положение схвата манипулятора и связанной с ним системы координат xnynzn по отношению к неподвижной или (базовой) системе координат x0y0z0. Это осуществляется последовательными переходами из системы координат звена i в систему координат звена i–1. Согласно принятому методу каждый переход включает в себя последовательность четырех движений: двух поворотов и двух параллельных переносов, осуществляемых в указанной последовательности (рис. 8.5):

–поворот i-й системы вокруг оси xi на угол θi до параллельности осей zi

иzi–1 (положительное направление поворота при наблюдении с конца вектора xi против часовой стрелки);

212

Mia – матрица переноса вдоль оси xi на ai,

Mis – матрица переноса вдоль оси zi–1 на si,

Miϕ – матрица поворота вокруг оси zi–1 на угол φi.

В этих матрицах переменные si и φi соответствуют относительным перемещениям звеньев в кинематических парах и являются обобщенными координатами манипулятора, определяющими конфигурацию механизма в рассматриваемом положении. Переменные ai и θi определяются конструктивным исполнением звеньев манипулятора, в процессе движения они остаются неизменными.

Положение некоторой произвольной точки М в системе координат звена i определяется вектором rMi , а в системе координат звена (i–1) – векто-

ром rMi−1 . Эти радиусы связаны между собой через матрицу преобразования координат Мi следующим уравнением:

rMi−1 = MirMi ,

где Mi – матрица перехода из i-й системы координат в (i – 1)-ю,

214

Рассмотрим шестиподвижный манипулятор в исходном или начальном положении (рис. 8.6). За начальное положение принимается такое, в котором все относительные обобщенные координаты равны нулю. Переход из системы координат любого i-го звена к неподвижной (базовой) системе записывается в виде

rM0 = M1M2...MirMi или rM0 = ΤirMi ,

где Ti – матрица преобразования координат i-й системы в координаты базовой системы, Τi = M1M2...Mi .

Рис. 8.6. Кинематика шестиподвижного манипулятора: 0–6 – его звенья

Для схемы, изображенной на рис. 8.6, радиус rM6 = 0, а радиус rM0 определяется по формуле

rM0 = Τn = Τ6 ,

т.е. положение выходного звена манипулятора определяется матрицей Тn. Элементы этой матрицы назначают положение центра схвата (точки М) и ориентацию его в пространстве. Четвертый столбец дает декартовы координаты точки М (проекции вектора rM0 на оси координат). Третий столбец

215

содержит направляющие косинусы оси zn системы координат, связанной со схватом, или вектора подхода A, который характеризует направление губок схвата (рис. 8.7). Второй столбец определяет направление оси yn или вектора ориентации O, который проходит через центр схвата по оси, перпендикулярной рабочим поверхностям его губок. В первом столбце содержатся направляющие косинусы оси xn или вектора (O × A).

Рис. 8.7. Кинематика схвата

Углом подхода схвата aA называется угол между вектором подхода A и базовым вектором:

RA = (O × κ0 ),

где κ0 – орт вектора z0 неподвижной или базовой системы координат. С учетом сказанного матрица Τn может быть представлена в следующем виде:

В результате матричных преобразований получаем радиус-вектор точки М схвата в функции обобщенных координат. Обычно за обобщенные координаты принимают линейные и угловые перемещения в кинематических парах или на выходных валах приводов манипулятора. В механизме с n сте-

216

пенями подвижности в общем виде функцию положения схвата можно записать так:

rMO = Τn A = П(q1, q2 , ..., qn ),

где q1, q2, …, qn – обобщенные координаты манипулятора.

Другая задача кинематического анализа – расчет скоростей. В прямой задаче необходимо определить линейные и угловые скорости и ускорения схвата при заданных угловых и линейных обобщенных скоростях и ускорениях (обычно относительных скоростях и ускорениях в кинематических парах механизма). В обратной задаче по заданному закону изменения скоростей и ускорений схвата определяются законы изменения скоростей и ускорений в кинематических парах или на выходных звеньях приводов.

Решение прямой задачи кинематики для точки М схвата можно получить, продифференцировав четвертый столбец матрицы Тn по времени:

где VMn – линейная скорость точки M; aMn – линейное ускорение точки М.

Угловую скорость и угловое ускорение схвата можно вычислить векторным суммированием относительных угловых скоростей во вращательных кинематических парах механизма. Так как векторы угловых скоростей при данном выборе ориентации осей координат совпадают с осью z, то угловая скорость схвата

ϖn = κ i−1 ϖi,i−1 , i=1m

где κ i−1 – орт оси z системы координат, расположенной в центре кинемати-

ческой пары, соединяющей звено i и звено (i – 1); m – число вращательных кинематических пар в механизме.

Дифференцируя это выражение по времени, получим формулу для определения углового ускорения схвата:

217

8.5.3. Решение задач кинематики векторным методом

Решение прямой задачи о положениях рассмотрим на примере манипулятора с тремя вращательными кинематическими парами.

Заданными будем считать обобщенные координаты механизма, за которые приняты углы относительного поворота звеньев в кинематических парах. Для решения задачи мысленно установим манипулятор в некоторое нулевое положение, в котором все обобщенные координаты равны нулю.

Положение манипулятора в любой момент времени определяется ориентацией осей его звеньев и кинематических пар и их положением. В нулевом положении векторы, направленные по осям звеньев и кинематических пар, считаем известными. Чтобы перевести манипулятор из нулевого положения в положение, задаваемое обобщенными координатами ϕi (i = 1,...,3) ,

совершим последовательные повороты в шарнирах на углы ϕi начиная

с неподвижного звена (рис. 8.8).

Первый поворот совершим в шарнире А на угол φ1 вокруг единичного вектора k . При этом векторы изменят свое положение и перейдут в векто-

ры i2 (1) , i3 (1).

Рис. 8.8. Кинематика манипулятора с тремя подвижными парами

218

Эти векторы могут быть найдены по формуле Родриго: is (1) = is cosϕ1 + (k × is )sin ϕ1 + (1− cosϕ1 )(k × is )k ,

где i ,k – единичные векторы (орты) декартовой системы координат; s – число осей единичного вектора, s = 2; 3.

Ввиду того что векторы коллинеарны между собой и ортогональны вектору k , член, содержащий три вектора в последней формуле, равен нулю; с учетом этого получим

is (1) = is cosϕ1 + (k × is )sin ϕ1

при s = 2.

Второй поворот совершим в шарнире В на угол ϕ2 вокруг вектора is (2). Изменят своё положение векторы is (1) :

js(2) = js cosϕ2 + (i2 × js )sin ϕ2 ,

где j – единичный вектор декартовой системы координат; s = 2; 3. Подставляя в эту формулу выражение для j , получим:

js(2) = js cosϕ2 + is cosϕ1 + (k × is )sin ϕ1 j ,sin ϕ2 = = js cosϕ2 + is × js cosϕ1 sin ϕ2 + is sin ϕ1 sin ϕ2 ,

где s = 2; 3.

Положение кинематической пары при этом движении не изменится. Третий поворот осуществим в шарнире С на угол ϕ3 вокруг вектора js(2).

Следует иметь в виду, что два поворота на углы φ2 и φ3 вокруг параллельных осей эквивалентны одному повороту на угол (ϕ2 + ϕ3 ), поэтому

После определения векторов, задающих положения векторов и звеньев, легко находятся радиусы-векторы точек механизма:

ρB = l1k ;

ρC = l1k + l2 j2 ;

ρM = l1k + l2 j2 + l3 j3.

219

Найденные векторы полностью определяют абсолютное положение манипулятора в пространстве.

Прямая задача о скоростях состоит в определении абсолютных линейных скоростей точек звеньев манипулятора и абсолютных угловых скоростей звеньев при заданных законах изменения обобщенных координат qi (t) (i = l, 2, …, n), где n – число степеней свободы манипулятора.

Так как радиус-вектор произвольной точки звена манипулятора представляет собой вектор-функцию обобщенных координат qk , то можно записать такое выражение для линейной скорости точки звена:

Для решения задачи используем метод приведения скоростей. Считаем, что в каждой кинематической паре манипулятора совершается одно движение: вращательное или поступательное. Считаем также, что относительные движения в каждой кинематической паре заданы, а требуется изучить движение звеньев манипулятора в неподвижной системе координат. Очевидно, что при одновременном движении во всех кинематических парах происходит сложение нескольких движений твердого тела. В качестве примера рассмотрим сложение двух движений.

Пусть два звена входят в одну кинематическую пару. С каждым из звеньев свяжем системы координат (Ο1x1 y1z1 и Ο2 x2 y2 z2 ). Пусть первое зве-

но и связанная с ним система координат Ο1x1 y1z1 совершает переносное движение по отношению к системе Οxyz, а система Ο2 x2 y2 z2 совершает относительное движение по отношению к системе Ο1x1 y1z1 . Тогда для произ-

вольной точки М второго звена скорость может быть найдена по формуле сложения скоростей

VM = V1 + V2 ,

где V1 – скорость точки первого звена, с которой в данный момент совпадает точка М второго звена; V2 – скорость точки второго звена относительно

первого звена.

Поскольку от перестановки слагаемых в этой формуле суммарный вектор не изменяется, то относительное и переносное движения можно поменять местами.

Если число подвижных звеньев и кинематических пар увеличить на единицу, то найденную скорость точки М звена 2 можно принять за переносную при определении скорости точки М звена 3, т.е. скорость точки ко-

220