2760.Практикум по теории механизмов и механике систем машин

нечного звена равна сумме скоростей этой точки при движении в каждой кинематической паре манипулятора в отдельности:

n

VM = Vi .

i=1

Если все кинематические пары поступательные, то скорости всех точек конечного звена равны сумме линейных относительных скоростей.

Если какая-либо из n кинематических пар вращательная, то соответствующая ей

V1 = ϖi × rin ,

где ϖi – вектор относительной угловой скорости во вращательной паре i; rin – радиус-вектор, задающий положение точки М звена n относительно центра пары i.

8.6. Методы построения динамической модели манипулятора

Динамическая модель манипулятора может быть построена на основе использования известных законов ньютоновской или лагранжевой механики. Результатом применения этих законов являются уравнения, связывающие действующие в сочленениях силы и моменты с кинематическими характеристиками и параметрами движения звеньев. Таким образом, уравнения динамики движения реального манипулятора могут быть получены традиционными методами Лагранжа–Эйлера или Ньютона–Эйлера. С помощью этих двух методов получен ряд различных форм уравнения движения, эквивалентных в том смысле, что они описывают динамику движения одной и той же физической системы.

Вывод уравнений динамики движения манипулятора методом Лагранжа–Эйлера отличается простотой и единством подхода. В рамках предположения о том, что звенья представляют собой твердые тела, этот подход приводит в общем случае к системе нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Уравнения Лагранжа–Эйлера обеспечивают строгое описание динамики состояния манипулятора и могут быть использованы для разработки усовершенствованных законов управления в пространстве присоединенных переменных. В меньшей степени они используются для решения прямой и обратной задач динамики. Прямая задача состоит в том, чтобы по заданным силам и моментам определить обобщенные ускорения, интегрирование которых позволяет получить

221

значения обобщенных скоростей и координат. Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным обобщенным координатам, скоростям и ускорениям определить действующие в сочленениях манипулятора силы и моменты.

С целью получения более эффективных с вычислительной точки зрения алгоритмов можно использовать уравнения Ньютона–Эйлера. Вывод уравнений движения манипулятора методом Ньютона–Эйлера прост по содержанию, но весьма трудоемок. Результатом является система прямых и обратных рекуррентных уравнений, последовательно применяемых к звеньям манипулятора. С помощью прямых уравнений последовательно от основания к схвату вычисляются кинематические характеристики движения звеньев, такие как линейные и угловые скорости и ускорения, линейные ускорения центров масс звеньев. Обратные уравнения позволяют последовательно от схвата к основанию вычислить силы и моменты, действующие на каждое из звеньев. Наиболее важный результат такого подхода состоит в том, что время, необходимое для вычисления обобщенных сил и моментов, прямо пропорционально числу сочленений, но не зависит от реализующейся в процессе движения конфигурации манипулятора. Это позволяет реализовывать простые законы управления манипулятором в реальном времени.

Низкая вычислительная эффективность уравнений Лагранжа–Эйлера обусловлена в основном тем, что для описания кинематической цепи используются матрицы преобразования однородных координат. Уравнения Ньютона–Эйлера обладают большей вычислительной эффективностью, что связано с их рекуррентной природой. Однако такие рекуррентные уравнения не обладают «аналитичностью», столь полезной при синтезе управления в пространстве состояний. Для синтеза законов управления желательно иметь в распоряжении замкнутую систему дифференциальных уравнений, точно описывающих динамику движения манипулятора.

Поскольку для построения модели динамики переходных процессов и дальнейшего анализа полученных уравнений необходима аналитическая форма, то для получения уравнений динамики используется метод Ла- гранжа–Эйлера.

Уравнения динамики манипулятора. Уравнения Лагранжа второго рода для голономной системы с n степенями свободы, которым отвечают обоб-

222

где L – функция Лагранжа, разность кинетической Т и потенциальной П энергий системы, L = T − П; Qjд – обобщенные силы управляющих двига-

телей, приведенные к j-й обобщенной координате, они имеют размерность моментов, если qj – угол поворота, или сил, если qj – линейное

перемещение.

лы, вызванные весом звеньев и груза, удерживаемого в захватном устройст-

ве, Qjв = − ∂П∂qj .

При наличии внешнего воздействия – силы Fв, приложенной к захватному устройству, в правую часть равенства для Qj надо добавить член QjF ,

характеризующий это воздействие:

Используем выражение (8.2) для вывода уравнений динамики манипулятора. Рассматривая исполнительный механизм манипулятора как систему из n твердых тел, запишем его кинетическую энергию T в виде суммы кинетических энергий звеньев Ti :

где mi – масса звена i; VOi – скорость некоторой точки Oi звена i, принятой за полюс; ϖi – вектор угловой скорости звена в принятой системе координат; riц – радиус-вектор центра инерции звена в системе осей, с ним связанных, начало которой совпадает с полюсом Oi ; θOi – тензор инерции звена в точке Oi .

223

Выражение (8.5) принимает наиболее простой вид, если за полюс звена принять его центр инерции. Тогда величина riц будет равна нулю и выраже-

ние (8.5) упростится:

Кроме того, в большинстве случаев звенья манипулятора представляют собой твердые тела, обладающие симметрией относительно трех ортогональных осей, проведенных через центр инерции. В соответствии с правилом разметки осей систем координат, связанных со звеньями, од-

на из осей системы Oi xi yi zi совпадает с осью звена (вектором Oi−1Oi ), а две другие образуют с ней правую триаду. При помещении точки Oi в центр инерции Oi0 (рис. 8.9) оси полученной системы Oi0 xi0 yi0 zi0 становятся главными осями инерции и тензор вектора в точке Oi0 имеет вид

диагональной матрицы, моменты инерции J относительно осей в которой определяются выражениями

и для звеньев заданной конфигурации являются известными константами. При отсутствии осевых симметрий тензор инерции звена в точке Oi0 характеризуется матрицей

центробежные моменты в которой определяются выражениями

224

Динамика манипуляторов промышленных роботов. Из большого разно-

образия задач динамики манипуляторов рассмотрим две: силовой расчет

ирасчет быстродействия ПР. При силовом расчете манипуляторов решаются задачи по определению внешних силовых управляющих воздействий, обеспечивающих требуемый закон движения механизма, и по расчету реакций в кинематических парах. Первую часть часто называют задачей синтеза управления. При силовом расчете обычно применяется метод кинетостатики, основанный на принципе Даламбера. По этому методу к внешним силам

имоментам, приложенным к звеньям механизма, добавляются расчетные силы инерции, которые обеспечивают силовую уравновешенность системы

ипозволяют рассматривать подвижную систему в квазистатическом равновесии, т.е. как условно неподвижную. Силовой расчет выполняется при за-

данной полезной нагрузкеFn , известных законах движения звеньев asi и ξi

(из предварительного кинематического расчета), известных инерционных характеристиках звеньев: массах звеньев mi и их моментах инерции Jsi .

По этим данным определяются главные векторы Fiи = −masi и главные моменты Miи = − Jsi ξi сил инерции для каждого из звеньев механизма. Для от-

крытой кинематической цепи решение начинаем с выходного звена – схвата. Отброшенные связи звена n со звеном (n – 1) и выходным валом привода звена n заменяем реакциями Mn, n−1 и Fn, n−1 и составляем кинетостатические

векторные уравнения равновесия сил и моментов для звена n (рис. 8.10):

G0 + Gn + Fnи + F0и + Fn, n−1 + Fn = 0,

M (Gn ) + M (G0 ) + M (Fnи ) + M (F0и ) + Mnи + Mn,n−1 + M (Fn ) = 0,

где G0 , Gn – сила тяжести звеньев; Mn, n−1 – вектор момента в кинематиче-

ской паре (проекция этого вектора на ось z является движущим моментом привода в кинематической паре, т.е. M z(n, n−1) = M∂ (n, n−1) ).

226

Проецируя векторные уравнения на оси координат, получим систему шести алгебраических уравнений, откуда определим шесть неизвестных:

Fx(n, n−1) , Fy(n, n−1) , Fz(n, n−1) , M x(n, n−1) , M y(n, n−1) , M z(n, n−1) = M∂ (n, n−1) .

Fx(n−1, n) , Fy(n−1, n) , Fz(n−1, n) , M x(n−1, n) , M y(n−1, n) , M z(n−1, n) = M∂ (n−1, n) ,

равные по величине и противоположные по направлению реакциям, определенным на предыдущем этапе расчета. Так последовательно составляются уравнения силового равновесия для всех n звеньев механизма. Из решения полученной системы 6n уравнений определяются реакции в кинематических парах, движущие силы и моменты.

Рис. 8.10. Система сил, действующих на звено со схватом

Расчет быстродействия робота. Время выполнения роботом цикла перемещений детали во многом определяет производительность всего роботизированного комплекса. Поэтому требования к быстродействию робота обычно достаточно высокие. Время выполнения роботом технологической операции обусловлено законами изменения внешних сил (движущих и сопротивления) и инертностью звеньев механизма. Закон изменения управляющих сил зависит от типа используемого привода (гидравлический, пневматический, электрический и комбинированный) и от вида системы управления (цикловая, позиционная или контурная). Проведем расчет быстродействия одного из приводов промышленного робота с цикловой системой управления. При цикловой сис-

227

теме управления относительные перемещения звеньев ограничиваются передвижными упорами и концевыми выключателями.

На рис. 8.11 изображена кинематическая схема трехподвижного манипулятора ПР (1, 2, 3 – подвижные звенья, 0 – неподвижное звено)

иприведены циклограмма настройки командоаппарата (сплошные линии)

ициклограмма работы ПР (пунктирные линии). Здесь обозначены: ϕ10 –

угол поворота звена 1 относительно стойки 0; S21 – перемещение штока поршня 2 относительно цилиндра 1; S32 – перемещение штока поршня 3 относительно цилиндра 2; H21 и H32 – перемещение третьего звена; hд – перемещение третьего звена при демпфировании. Общее время ра-

бочего цикла Тц состоит из времени выстоя в заданных положениях (на циклограмме выстой показан прямыми, параллельными горизонтальной оси t) и времени относительных перемещений звеньев из одного заданного положения в другое tп.х (прямой ход) и обратно tо.х (обратный ход) (наклонные прямые на диаграммах). Время выстоя обычно задано условиями технологического процесса. Время выполнения роботом движений определяется динамическими характеристиками приводов и манипулятора – движущими силами и силами сопротивления, массами и моментами инерции звеньев.

Рис. 8.11. Кинематическая схема трехподвижного манипулятора

228

Применение ЭВМ к решению задач кинематики манипуляторов

Определение угловых скоростей и угловых ускорений звеньев механизма манипулятора по заданному движению рабочей точки

Манипулятор робота представляет собой плоский механизм. Звенья этого устройства образуют «механическую руку» с захватом в точке А.

В заданной системе координат известны уравнения движения рабочей точки А (захвата), которое длится 1 с.

Требуется определить в этом интервале времени углы φ, ψ, θ и расстояние s, вычислить угловые скорости и угловые ускорения звеньев и относительные (варианты 1–13, 15–25, 27–30) или абсолютные (варианты 14, 26) скорости s и ускорения s точки В. Все вычисления следует произвести для промежутка времени от 0 до 1 с (шаг – t = 0,2 с).

Положительные направления отсчета углов φ, ψ, θ и расстояния s показаны на рисунках к заданию, где номера схем соответствуют номерам вариантов. Считать, что начальные значения углов φ = φ0, ψ = ψ0 известны. Необходимые для расчета данные приведены в таблице ниже, где а, b, с – длины звеньев, м; φ0, ψ0 – обобщенные координаты, град.; хА, уА – положения центра схвата, м. Необходимые чертежи для расчетов представлены ниже.

Варианты заданий с необходимыми для расчета данными

229

Окончание таблицы

230