2760.Практикум по теории механизмов и механике систем машин

231

232

233

Пример выполнения задания

На рис. 1 изображен в начальном положении механизм манипулятора и показаны положительные направления отсчета углов φ, ψ, θ и расстояние s. Размер звеньев, м: а = 30; b = 10; с = 0,55.

Захват (точка А) движется согласно уравнениям

втечение 1 с.

Вначальный момент времени (t = 0) φ = φ0 = 62°, ψ = ψ0 = 33°.

Определить значения углов φ, ψ, θ и расстояние s для указанного промежутка времени.

Вычислить также угловые скорости φ, ψ, θ, угловые ускорения φ,ψ,θ,

относительную скорость s и относительное ускорение s точки В. Вычисления произвести для моментов времени 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1 с.

Решение. Для любого положения механизма справедливы векторные соотношения (рис. 2).

где

DC = 0,31a = const; DB = c = const.

Равенства (2) и (4) являются уравнением связей, наложенных на систему. Спроецируем (2) и (3) на оси координат:

234

Продифференцируем (5) и (6) дважды по времени, учитывая (4). В результате первого дифференцирования получим алгебраические уравнения

где xA , yA – координаты ускорения центра схвата.

Величины xA , yA , xA , yA , входящие в выражения (7) и (9), определяются дифференцированием уравнений движения захвата (1):

Для начального момента времени t = t0 = 0 системы уравнений (7) и (8) имеют следующий вид:

235

откуда θ0 = 13,496°.

Подставляя значения a, b, c, φ0 ,ψ0 ,θ0 , s0 в (12), (13), имеем следующую систему уравнений:

−1,1478φ0 − 0,5991ψ0 = −0,2, 0,6103φ0 − 0,9225ψ0 = 0,089,

−0,3558φ0 − 0,2234ψ0 + 0,8387s0 + 0,1326θ0 = 0, 0,1892φ0 − 0,344ψ0 − 0,5446s0 − 0,5338θ0 = 0.

Решая эту систему уравнений, получим:

φ0 = 0,0921 рад/с2 , ψ0 = −0,1574 рад/с2 ,

Заметим, что два первые уравнения решаются совместно, независимо от двух последних.

Используя найденные результаты, составим систему для начального положения уравнений (9) и (10):

236

−1,1478φ0 − 0,5991ψ0 = 0,028, 0,6103φ0 − 0,9225ψ0 = −0,0051,

−0,3558φ0 − 0,2234ψ0 + 0,8387s0 + 0,1326θ0 = 0,0115, 0,1892φ0 − 0,344ψ0 − 0,5446s0 − 0,5338θ0 = 0,0221.

Решая эту систему уравнений, получим:

φ0 = −0,0203 рад/с2 , ψ0 = −0,0079 рад/с2 , θ0 = −0,0555 рад/с2 , s0 = 0,0118 м/с2.

Отметим, что и в этом случае первые два уравнения решаются независимо от двух последних.

Следующим моментом времени, при котором необходимо определить искомые величины, является t = t1 = t = 0,2 с. Считая t малой величиной, можно записать:

Выражения (14) непосредственно вытекают из разложения функций ψ (t), φ(t ),θ(t ), s(t) в ряд Маклорена в окрестности t = 0.

Вычислим согласно (14) φ1, ψ1, θ1 и s1 :

В общем случае переход от параметров одного звена φi ,ψi ,θi , si к параметрам другого звена φi+1,ψi+1,θi+1, si+1 будет осуществляться по формулам

где i – порядковый номер рассчитываемого положения механизма. Отметим, что уравнения (15) соответствуют закону изменения параметров

237

Решая эту систему уравнений, получим:

φ1 = 0,0881 рад/с2 , ψ1 = −0,1560 рад/с2 , θ1 = −0,1913 рад/с2 , s1 = 0,1116 м/с2.

Используя найденные результаты, опять составляем системы уравне-

Воспользовавшись (15), при i=1 найдем φ2 ,ψ2 ,θ2 , s2 .

Описанная выше вычислительная процедура выполняется k раз, где

Здесь τ – длительность процесса движения (τ = 1 с).

Блок-схема описанного алгоритма показана на рис. 3, где А1 – ввод исходных данных; А2 – решение системы (7), определение φ ψ; А3 – решение

системы (8), определение θ, s ; А4 – решение системы (9), определение φ,

238

ψ0 ; А5 – решение системы (10), определение θ, s ; А6 – печать результатов; А7 – вычисление ψ, φ, θ, s для следующего момента времени согласно (15); А9 – конец работы.

А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7 А8 А9

Рис. 3. Блок-схема описанного алгоритма

Применение уравнений Лагранжа II рода

к определению сил и моментов, обеспечивающих программное движение манипулятора

Манипулятор, состоящий из звеньев 1, 2 и захвата D, приводится в движение приводами А и В (см. чертежи для выполнения задания). Захват D перемещается вдоль прямой ON. Со стороны привода А к звену 1 прикладывается либо управляющий момент МА (варианты 2, 4, 7, 8, 12, 22, 24–26, 29),

либо управляющее усилие PA (варианты 1, 3, 5, 6, 9–11, 13–21, 23, 27, 28, 30).

Привод В воздействует на звено 2 моментом МВ(варианты 1–3, 5, 6, 8–11, 13–21, 23, 27) либо управляющим усилием РВ (варианты 4, 7, 12, 22, 24–26, 28–30).

Перемещение звена 1 (варианты 3, 4, 7, 12, 22, 24–26, 28–30) или звена 2 (варианты 1, 2, 5, 6, 8–11, 13–21, 23, 27) манипулятора ограничено препятствиями K и L, поэтому изменение угла поворота φ = φ(t) этого звена возмож-

но лишь в интервале φ(0),φ(τ) , где τ – время движения звена.

Технические условия работы манипулятора требуют, чтобы указанное звено сошло со связи K при t ≤ 0 и «мягко» коснулось препятствия L при t = τ, т.е. так, чтобы были удовлетворены условия

Программные движения звена 1, удовлетворяющие требованиям звена «мягкого» касания, приняты в таком виде:

(варианты 2, 4, 6, 7, 11, 12, 16, 19, 22, 24–26, 28–30);

239

(варианты 1, 3, 5, 8–10, 13–15, 17, 18, 20, 21, 23, 27).

Значения φ(0) и φ(τ) заданы в таблице ниже, а график φ = φ(t) пока-

зан на чертеже 4 (см. с. 242). Силами сопротивления движению пренебречь. Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Движением захвата относительно звена 1 пренебречь.

В задании приняты следующие обозначения:

m1 – масса первого звена, захвата и переносимого в захвате объекта; m2 – масса второго звена;

J1 – момент инерции звена 1, захвата и переносимого в захвате объекта относительно главной центральной оси инерции;

J2 – момент инерции звена 2.

Центр тяжести звена 1 находится в точке С (варианты 1–4, 6–8, 11–13, 16, 18–20, 22–30) или в точке А (варианты 5, 9, 10, 14, 15, 17, 21).

Требуется:

1.Вычислить значения управляющих сил и моментов в начале торможения звена 1. Считать, что торможение звена 1 начинается в тот момент, когда угловое ускорение звена обращается в ноль.

2.Построить графики зависимости управляющих моментов и сил от времени.

Варианты заданий с необходимыми для расчета данными

240