
1252
.pdfгде
~фР
Ф* = Фу |
(3.38) |
— вектор значений в узлах элемента.
Коэффициенты в базисных функциях элемента (3.25) и площадь
элемента Д* могут быть определены с помощью соотношений (3.27).
Тогда входящие в (3.37) производные от базисных функций вычис
ляются непосредственно: |
|
дЩ!дх = % дЩ/ду = Ц; |
(3.39) |
аналогичные выражения получаются для производных от других
базисных функций элемента. Будем считать, что сторона элемен
та, соединяющая узлы i и /, лежит на фактической границе
или аппроксимирует ее, а другие стороны не лежат на этой гра
нице. Если ky Q и q не |
являются |
постоянными, |
то удобно, хотя |
это и непринципиально, |
взять их |
постоянными |
внутри элемента. |
Тогда на элементе е можно заменить k и Q средними значениями
ke и Qe соответственно, a qe средним значением qe вдоль стороны элемента, представляющей часть границы Г^.
Замечая, что
(3.40)
ие
и непосредственно проводя интегрирование в (3.37), получаем
Вклад по элементу в вектор нагрузки f найдем, проводя ин тегрирование в (3.366) с учетом того, что
(3.42а)
где
X* = (xt + Xj + xk)/3, V = (y, + yj + yk)l3. |
(3.426) |
В результате имеем
П= (1/3) QeAe— (1/2) q* V (Xi-Xj)* + {yt— yj)\
/у = (1/3) Q*A*— (1/2) qe V (x(-X jY + (yr- y j)\
f%= (1/3) QeAe.
В этих выражениях подчеркнутые члены |
появляются |
только в |
||||||
том случае, когда узлы i и |
/ лежат на Г^, |
и, следовательно, |
они |
|||||
должны быть опущены |
для |
вектора |
нагрузки, вычисляемого |
по |
||||
внутренним элементам. |
|
|
|
|
|
ке |
||
Таким |
образом, |
определена структура |
матриц элементов |
|||||
и правых |
частей \е |
для |
двумерной |
задачи |
стационарной тепло |
|||
проводности и может быть |
написана |
общая |
программа |
для ЭВМ |
для анализа таких задач с использованием треугольных элемен тов с тремя узлами. Правильный процесс ансамблирования для
матриц таких элементов вкратце будет продемонстрирован в при
мере 3.5.
3.8.2. Прямоугольные элементы
Аналогичные результаты могут быть получены и в том случае,
когда область Q разбивается на прямоугольные элементы (с че
тырьмя узлами в вершинах). Вклад в Кф из (3.35) от некоторого
элемента е с узлами i, /, k, / (см. рис.^3.13) можно теперь найти, вычислив
Г |
Г ( |
dN\П |
\ |
/' |
d N ) |
Y |
l |
|
Гd N e, |
d N ) |
d N ) |
|||
|
[ \ |
дх |
) |
+ |
\ , |
dy |
) |
J |
|
L |
dx |
dx |
' |
dy |
|
“I Qj ^ —«> |
d N ) |
|
d N ) d N ) |
|
|
|
|
< d N ) |
|||||
|
Г |
' |
dx |
1 |
dy |
|
dy |
|
№ L)’ +< |
|
||||
|
** |
|
■ ] |
|
|
|
К |
dy |
||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Г d N ) dN % |
|
d N ) d N % |
1J |
d N ) d N ke |
d N ) |
||||||||
|
L |
& |
dx |
‘ |
ay |
|
dy |
rL |
dx |
d x |
1 |
dy |
||
|
Г d N ) d N ) |
|
d N ) d N e, |
1J |
d N ] d N e, |
d N ) |
||||||||
L |
L |
ax |
dx |
^ |
dy |
|
dy |
гL |
dx |
dx |
* |
dy |
||
d N ) d N l |
|
dy |
|
dy |
] |
---------i 1 Qj « — re |
d N ) |
|
dy |
Qj |
--------1 1 |
|||
|
d N ) |
d N l |
|
|
|
|
d N ) |
|
|
|||||
dx |
dx |
“r |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1 |
|
|
|
d N ) d N l |
|
d N ) d N ke |
Г d N ) d N ) |
|
d N ) d N ) ] |
|||||||||
dx |
dx |
" r |
dy |
|
dy |
] |
L |
dx |
dx |
1 |
dy |
dy |
J |
|
( d N ) A |
\ ( |
d N l |
Y 1 |
|
Г d N l d N ) |
. d N l d N ) 1 |
||||||||
\ dy ' ) + (ч |
dy |
|
|_ |
dx |
d x |
1 |
dy |
d y J |
||||||
) \ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
d N l d N ) |
. d N l d N ) 1 |
\ ( d N \ L Y + ( f d N ) Y l |
|
|||||||||||
dx |
дх |
+ |
dy |
dy J |
I A |
dx |
J |
\ |
dy |
/ J |
|
|||
|
|
|
|
d N )
dy
Л
d N l
dy d N ei dy
|
|
(3.44) |
1 |
~ |
П |
|
|
ф « |
|
|
Фу |
|
d x d y |
|
|
|
Ф а |
i |
I_ |
cp, |
J |
Используя результаты предыдущего параграфа, можно определить
базисные функции элемента
N) = (А *-х ) (hey— y)/(hex hi), |
N) = x (Н>у- у Ш AJ), |
Ni = ху/(Х hey), N) = |
(hex—x) yl(hexheu). |
Дифференцирование этих базисных функций позволяет найти вхо дящие в (3.44) выражения, а именно
dNVdx = |
— (hl— y)l(hexhey), |
dNydy = - ( h ‘x-x)l(h'xh‘y), |
dNei/dx= |
(h‘y-y)/(h'xhi), |
dNydy = — x/(hxhey), |
dNekldx = yl(hexhey), |
dNydy=x/{hexhey), |
|
dNydx = |
— y/(hexhey), |
dN\/dy = (h*x-x )l(h exhl). |
Рассмотрим случай, когда стороны элемента, связывающие узлы i и / и узлы i и / соответственно, образуют или аппрокси
мируют часть Г?. Тогда, снова считая, что q постоянно и равно
qe вдоль этих сторон, a k и Q постоянны на элементе, из (3.44)
имеем
|
|
№ У + ЩУ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
ке<рг |
ke |
| - | ( ^ ) 2 + |
W )2] |
|
|
m |
r + m |
|
||
3hexhey |
у [ № ) 2 + (^ )2' |
|
|
|
[(hexy - ± ( h w ] |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
[(hexY - ^ (h ir |
|
|
-^ m y + (h iy ] |
(3.47) |
||||
|
L_ |
|
|
|
|
|
|
\ 1 |
||
|
~ ^ т г + ( к у ] |
|
|
|
|
|
фi |
|||
|
- [ ( ^ ) 2- у ( ^ ) 2] |
|||||||||
|
- т |
у - ^ т |
г ] |
- ^ т у + т |
ф/ |
|||||
|
т |
у + т |
|
- [ - |
^ |
( |
К |
у |
+ ф ь у ] |
ф* |
|
- [ - ^ ( h 'xy + |
(heyy] |
№ |
у |
+ ( |
Н |
' у |
У ] |
ф < |
|
|
|
|
|
|
Отметим, что, согласно (3.45), на каждом элементе сумма базис
ных функций элемента равна единице, т. е.
|
Ni + Nej + |
Nek + Nei = 1 |
на |
элементе е. |
|
(3.48) |
||||
Отсюда следует, что на элементе е |
|
|
|
|
||||||
dNei |
dNej |
. dN{ |
dNei |
dNei |
dN‘ |
dNek |
dN“i |
0, |
(3.49) |
|
dx |
* dx |
dx ' |
dx |
dy |
‘ dy |
dy |
dy |
|||
|
|
и, таким образом, согласно (3.44), сумма элементов в каждой
строке матрицы ке должна быть равна нулю. Это условие выпол
няется для только что полученной матрицы ке в (3.47) и служит простой проверкой правильности проведения интегрирования.
Компоненты вектора нагрузки элемента вычисляются с помощью
соотношения (3.366). Например, для узла i имеем h%h%
fet= S S [Qel(hexhey)] (hex— x) (hey—y)dxdy—
о |
0 |
|
|
|
|
h* _ |
hl |
_ |
(3.50) |
— |
S [qe(hex—x)lhex]dx— $ |
[qe (h‘ —y)lhey]dy = |
|
0_________________ J)_________________
= (1/4) Qehexhey— (l/2)~qhe—x (112]qehey,
где подчеркнутые члены появляются только в силу предположе
ния, что стороны элемента, связывающие узлы i и / и узлы i и
/ соответственно, образуют часть Тд. Тогда остальные ненулевые
компоненты вектора нагрузки элемента ie выражаются формулами
/У = (1/4) Qehexhey— (1/2)~де1гех,
/| = (1/4)(ЗЭ Д , |
__ |
(3.51) |
// = (1/4) QeheJiey— (1/2) q'hj.
Хотя вычисление вручную этих матриц элементов и правых
частей в известной степени утомительно, его нетрудно осуществить
с помощью программы для ЭВМ. Полученные выше соотношения
могут быть использованы для треугольников произвольного раз мера и формы, а также для любых прямоугольников. Следующий этап в процессе решения состоит в ансамблировании вкладов полу ченных матриц элементов и правых частей для нахождения гло бальной матрицы системы К и правой части f в (3.35). Эта процедура демонстрируется в следующем примере, где для обоих видов разбиения области на треугольные и прямоугольные эле менты осуществляется ансамблирование типичного уравнения во внутреннем узле однородной области.
Пример 3.5. Для только что рассмотренной двумерной задачи
теплопроводности продемонстрируем процесс ансамблирования
матриц элементов в случае равномерной сетки с шагом h по направлениям х и у. Такое ансамблирование сначала проводится для треугольной сетки, показанной на рис. 3.16, а, а затем повто ряется для прямоугольной сетки на рис. 3.16, б. Коэффициент теплопроводности k предполагается постоянным во всей области. В случае треугольных элементов используются соотношения (3.27).
Для элемента 1 с узлами |
1, 2 и 6 и |
началом координат в узле 1 |
||
это дает |
|
|
|
|
«1 = |
1, |
aj = 0, |
aj = |
0, |
Р! = -1/А , |
Й=1/А, |
PJ = |
0, |
|
Yi = |
0, |
Yi = -1/A, |
Y i= l/ A |
а
4— {----- J— i— i—
9
©
©
ОО
Г Т Т
3 6
ф
1 Z
©
5 7
г |
1 |
!---------- |
Ш |
б
Рис. 3.16. Равномерная сетка внутри двумерной области, использующая треуголь
ные элементы с тремя узлами (а) и прямоугольные элементы с четырьмя узлами
(б).
и 2A1 = /i2. Непосредственная |
подстановка |
этих значений в (3.41) |
||
дает |
|
|
|
|
|
1 |
— 1 |
0“ |
> Г |
k V = -o — 1 |
2 — 1 |
Фг . |
||
|_ 0 — 1 |
1_ 1_Фз_ |
|||
а для ненулевых компонент вектора нагрузки имеем |
||||
— |
— |
|
Q 1Л.,/6. |
|
Вклад элемента 1 в глобальную матрицу К и правую часть f, таким образом, вычислен, и процесс ансамблирования начинается с включения этих вкладов в общую систему уравнений, как пока зано на рис. 3.17, {а).
S |
|
|
\ |
/ |
S |
/ |
\ |
1 |
-1 |
|
|
|
у! |
|
Q* |
-1 |
2 |
|
-1 |
|
9г |
|
Q1 |
|
|
|
|
|
Уз |
2 |
|
|
|
|
|
.9* |
21Г |
|
|
|
|
|
|
6К |
И |
||
|
|
|
|
|
9ъ |
|
Q1 |
|
-1 |
|
1 |
|
9ь |
|
|
|
|
|
|
|
9п |
|
|
|
|
|
|
|
У>8 |
|
|
|
|
|
ч |
|
\ |
• |
|
2 |
-1 |
-1 |
|
|
9\ |
|
Q+ Q |
-1 |
2 |
|
-1 |
|
92 |
|
Q* |
|
|
|
Q2 |
||||
-1 |
|
2 |
-1 |
|
Уз |
2Нг |
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
‘ 6к |
|
|
|
-1 |
-1 |
2 |
|
9ъ |
|
QVQ |
|
|
9ъ |
|
||||
|
|
|
|
|
9i |
|
|
|
|
|
|
|
Ув |
|
|
|
|
|
ч |
|
S |
'Q’.QV ' |
|
|
-1 |
-2 |
-1 |
|
9\ |
||
-1 |
2 |
|
-1 |
|
92 |
|
Q1 |
-2 |
|
3 |
|
|
Уз |
. 2h2 |
oio3 |
-1 |
|
|
1 |
|
n3 |
||
|
|
|
?i |
6 К |
Q |
||
|
|
|
|
|
У5 |
|
W |
|
|
|
|
|
|
d*a2 |
|
|
-1 |
-1 |
2 |
|
Уб |
|
У?
Ув
Рис. 3.17. Этапы процесса ансамблирования для двумерной задачи теплопровод ности с использованием треугольной сетки, изображенной на рис. 3.16, а. Здесь
(а) — (е) иллюстрируют ансамблирование ненулевых компонент для элементов
Для других элементов компоненты приведенных матриц эле
ментов и векторов нагрузки элементов находятся таким же обра зом. В рассматриваемом случае можно непосредственно получить соотношения
|
|
1 — 1 |
"1 |
■ фв' |
|
k v |
= | |
— 1 |
2 |
|
Фз |
|
|
0 — 1 |
П |
_Ф1„ |
|
|
|
1 |
— 1 |
" ф / |
|
k V |
- | |
— 1 |
2 |
|
Ф1 |
|
|
О |
- 1 |
|
_фз„ |
5 |
-1 |
-2 |
-2 |
|
А |
-1 |
2 |
|
|
|
|
-2 |
|
3 |
|
|
-1 |
-2 |
|
|
3 |
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
|
2 |
|
|
|
-1 |
|
1 |
6 |
A |
-2 |
-2 |
-1 |
|
A |
2 |
|
|
|
-1 |
-2 |
|
3 |
|
|
A |
-2 |
|
|
3 |
|
-1 |
-1 |
|
|
|
2 |
-1 |
|
-1 |
-1 |
|
|
2 |
|
|
|
-1 |
-1 |
2 |
6 |
-2 |
2 |
-2 |
-2 |
|
-2 |
3 |
|
|
|
-1 |
-2 |
|
3 |
|
|
-1 |
-2 |
|
|
3 |
|
-1 |
-2 |
|
|
|
3 |
-1 |
|
A |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
-1 |
и |
2 |
Рис. 3.17. Продолжение.
kv = 4
кБФ6= Y
k v = 4
ч ч
h
ь
73
п. 2h2
7s 6k
76
77
78
4 \
7i |
|
b |
|
73 |
|
7* |
2h2 |
75 |
6k |
7e |
|
77 |
|
7e |
|
4 У |
, |
ь
72
7 з
f ч
QW .OV
Q1
Q2Q3
Q.3*Q‘
Q'.Q2 a‘
^ Q+(&QI(AQ5>
Q'
0i03 GL3<-Q* Q5
QVQ2
(Ad5
s
Q'*Q2»QIQ‘.Q5.Q6
Q'.Q6
rf. Q3
n |
_ 2h2 |
QIQ‘ |
7 5 |
" 6k |
Q5.Q6 |
7б |
|
Q'.Q2 |
7 7 |
|
Q‘.Q5 |
7e |
|
|
|
1 — 1 |
" ф Г |
|
— 1 |
2 |
Ф4 |
|
|
0 |
— 1 |
_ф7_ |
|
1 |
— 1 |
> 7 _ |
— |
1 |
2 |
Фб |
|
0 — 1 |
- ф'- |
|
|
|
|
|
|
1 |
— 1 |
> * " |
— |
1 |
2 |
Ф1 |
|
О — 1 |
_ф6_ |
(г)
( * )
И т. д .
Ансамблирование вкладов элементов 2—6 показано на рис.
3.17, (б) — (ё). На |
рис. |
3.16, а |
видно, что |
узел 1 принадлежит |
только элементам |
1—6, |
и, таким |
образом, |
дальнейшее ансамбли- |
2 |
1 |
I |
2 |
"2 |
|
.1 |
2 |
-1 |
2 |
|
|
I |
1 |
2 |
1 |
||
-1 |
Л |
1 |
|
2 |
2 |
4 |
1 |
|
|
"I |
|
|
|
I |
2 |
-1 |
|
'2 |
-1 |
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
|
«1 |
2 |
'2 |
|
||
-1 |
\_ |
т |
|
|
"2 |
"2 |
|
-1 |
|
1 |
т |
|
2 |
•7 |
-1
Л
2
1
*2
2
-1 |
•1 |
1 |
|
21 |
1 |
2 |
7 |
|
I |
|
*2 |
2 |
|
|
2 |
ч |
N |
|
/ |
\ |
|
9\ |
|
|
Q1 |
|
ь |
|
|
Q1 |
|
|
|
Q1 |
|
|
ь |
|
|
|
|
п |
_3h2 |
|
|
|
9ъ |
~ 4к |
М |
|
|
п |
|
|
а1 |
|
91 |
|
|
|
|
9ъ |
|
|
|
|
99 |
|
|
|
Ч |
N |
/ |
ч |
|
|
Ь |
|
|
d.a2 |
|
|
|
а' |
|
|
92 |
|
|
|
|
9г |
|
|
QVQ2 |
|
|
|
о2 |
|
|
9и |
_3h* |
||
|
9ъ |
' |
4К |
а1 |
|
9ь |
|
|
|
|
91 |
|
|
|
|
9в |
|
|
Q2 |
|
fs |
|
|
Рис. 3.18. Этапы процесса ансамблирования для двумерной задачи теплопровод ности с использованием прямоугольной сетки, изображенной на рис. 3.16, б. Здесь (а) — (г) иллюстрируют ансамблирование ненулевых компонент для эле ментов 1—4.
рование элементов уже не будет менять уравнения для этого узла. Поэтому, согласно рис. 3.17, (е), полное уравнение для узла 1 будет иметь вид
4<Рхф2- Фз - ф4ф6- т (Q1+ Q2+ Q3+ & + Q1f+ Q°) = 0.
Для изображенных на рис. 3.16, б квадратных элементов ансамб лирование полного уравнения для узла 1 проще. Используя для элемента 1 с узлами 1, 2, 6 и 3 соотношения (3.47), находим
|
- |
2 |
— 1/2 — 1 |
— |
1/2- |
'Ф Г |
|
к1ф1 = |
к |
— 1/2 |
2 |
— 1/2 |
— |
1 |
Ф. |
Т |
— 1 |
— 1/2 |
2 |
— 1/2 |
Фз |
||
|
|
— 1/2 — 1 |
— 1/2 |
|
2 |
, Ч > 4 _ |
а ненулевые компоненты вектора нагрузки элемента получаем
6 |
1 |
А |
-1 |
Т |
|
"2 |
'2 |
||||
|
|
|
|||
.1 |
2 |
-1 |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
||
-1 |
|
4 |
-1 |
|
|
-1 |
|
•1 |
4 |
А |
|
Т |
|
|
А |
2 |
|
*2 |
|
|
|||
|
|
|
|
||
-1 |
.1 |
Л |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
-1 |
|
|
л |
! |
|
|
|
2 |
г |
||
|
|
|
|||
-1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
*2 |
~2 |
|
||
|
|
|
|||
8 |
-1 |
-1 |
А |
А |
|
-1 |
и |
-1 |
|
-1 ‘ |
|
-1 |
-1 |
и |
А |
|
|
-1 |
|
А |
и |
-t |
|
-1 |
-1 |
|
-1 |
4 |
|
-1 |
1 |
1 |
|
|
|
2 |
"2 |
|
|
||
|
|
|
|||
1 |
1 |
|
|
} |
|
~2 |
|
|
“ 2 |
||
|
|
|
|||
-1 |
|
|
Л |
|
|
|
|
2 |
• i |
||
|
|
|
|||
-1 |
|
|
1 |
|
|
|
- i |
*2 |
|
||
|
|
|
Рис. 3.18. Продолжение.
согласно (3.51):
-1 |
|
► 1 |
-1 |
Л |
|
|
|
2 |
|
|
|
.1 . |
|
|
. 1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
. 1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
г |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
и |
И |
*4 |
4 |
1 |
т |
|
|
'2 |
“2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
" 2 |
|
|
*"2 |
|
|
Л |
. J |
|
|
2 |
2 |
|
„1 |
1 |
|
|
2 |
“2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2
2
9i
Ь
ъ
■ п _3h}
95 ' <>к
96
97
9в
99
V / N
9i
Ь
9э
п_3h2 fs ' 4к
п.
97
98
]Р9
f\ = n = fl = n = !i'QV4.
t — J
d
d.QJ
а3
Q'
а3
a2
'd>d*a\<x a'-a4
a'.a2
Q.Q3
QW
Q1
Q‘
a3
a2
М
М
Для остальных элементов приведенные матрицы элементов могут быть получены непосредственно из к1, что дает
|
|
- |
2 |
— 1/2 |
— 1 |
— 1/2- |
"Ф Г |
|
к2ф2 _ A |
— 1/2 |
2 |
— 1/2 |
— 1 |
Фх » |
|||
— 1 |
— 1/2 |
2 |
— 1/2 |
|||||
|
“ |
3 |
Фз |
|||||
|
|
_— 1/2 |
— 1 |
— 1/2 |
2 ^ |
_Фв_ |
||
|
|
1 |
2 |
— 1/2 |
— 1 |
— 1/2- |
'Ф Г |
|
|
|
" |
||||||
к3ф |
з _ |
Л |
— 1/2 |
2 |
— 1/2 |
— 1 |
Фз |
|
— 3 |
— 1 |
— 1/2 |
2 |
— 1/2 |
Фх |
|||
|
|
_— 1/2 |
— 1 |
— 1/2 |
2 |
-Ф4- |
г |
2 |
— 1/2 |
— 1 |
— 1/2“ |
~Фб' |
k |
— 1/2 |
2 |
— 1/2 |
— 1 |
Ф7 |
к4ф4 = -д |
— 1 |
— 1/2 |
2 |
— 1/2 |
Ф2 |
|
— 1/2 |
1 |
— 1/2 |
2 _ |
_Ф1_ |
Ансамблирование вкладов элементов 1—4 в глобальную мат
рицу К и правую часть f показано на рис: 3.18. Опять можно
заметить, что соответствующее узлу 1 уравнение уже не будет
меняться при продолжении процесса ансамблирования, так как
узел 1 ассоциирован только с элементами 1—4. Таким образом,
согласно рис. 3.18, (а), полное уравнение для узла 1 будет иметь вид
(8/3) ф! — (1/3) (ф, + Фз + ф4 + Фб + Ф. + Фт + ф8 + Ф»)—
- [AV(4>fe)](Q14- Q2 + Q3+ Q4) = о.
Полученное ансамблированием для равномерной конечно-элемент
ной сетки уравнение интересно сравнить с эквивалентным конечно
разностным уравнением, которое, согласно результатам гл. 1, в узле 1 имеет вид
4ф!— Фг— фз— ф4 — ф8— /i2Qi = 0.
Читатель заметит, что приведенное здесь конечно-разностное выра
жение аналогично уравнению в этом узле, полученному ансамбли
рованием по треугольным элементам. Однако в конечно-разност
ном выражении значение Q в узле 1 равно величине нагрузки, тогда как в конечно-элементной форме использовано весовое сред нее значение нагрузки, распределенной между примыкающими
элементами. Если Q не равно постоянной, то это приводит к полу
чению разных выражений.
Продолжая процесс ансамблирования, читатель заметит, что
вблизи границы, где задан ненулевой поток q> ансамблированные
уравнения отличаются от используемых в конечно-разностной
аппроксимации. Действительно, конечно-элементная формулировка здесь проще и ее точность выше. Если в примере 1.5 использо
вать оба типа ансамблированных уравнений, то в случае треуголь
ной сетки результаты будут тождественны полученным ранее с помощью конечно-разностной аппроксимации (так как здесь поток через границы равен нулю и Q постоянно на всей области). Однако для прямоугольных элементов решение будет иным, и читатель
должен сравнить полученные таким образом результаты с резуль
татами, полученными при использовании треугольных элементов (см. упражнение 3.16).