1252

Наконец, на рис. 3.22 демонстрируется разбиение для задачи

об электромагните, где применяется уравнение (3.31), в котором теперь k— магнитная проницаемость, a Q— сила тока в провод­ никах.

Рис. 3.22. Треугольные элементы, используемые для решения задачи об электро* магните.

Широчайшее многообразие задач, которые могут быть решены на основе единой конечно-элементной методологии — и фактически единой программы для ЭВМ, — вот, что читатель должен отметить.

Литература

Рекомендуемая литература

Davies A. J . The finite element method: A first approach.—Oxford: Claren­ don, 1980.

Метод конечных элементов для уравнений с частными производными.— М.: Мир, 1981.]

Zienkiewisz О. С, The finite element method,—3rd ed. — New York: McGraw-Hill, 1977,

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

4.1.Введение

Впредыдущих главах читатель познакомился с методами ап­

проксимации базисными функциями, которые либо задавались

одним аналитическим выражением на всей области, как в гл. 2,

либо определялись поэлементно с помощью простейших локаль­ ных функций (гл. 3). В действительности в последнем случае использовались только линейные и билинейные многочлены, ве­ дущие к самым простым видам конечных элементов. В этой главе

будет изучена возможность использования более сложных базис­

ных функций, также определенных на конечном элементе (т. е.

локально).

Причина введения таких базисных функций высших степеней

состоит в желании получить более точную аппроксимацию реше­

ния рассматриваемой задачи. При применении использовавшихся

до сих пор простых конечных элементов уточнить решение можно

только с помощью последовательного измельчения сетки. С дру­ гой стороны, повышение точности приближения может быть до­ стигнуто последовательным повышением степени базисных функ­ ций (при фиксированной сетке конечных элементов).

С практической точки зрения очевидно, что наилучшим будет

выбор, доставляющий максимальную точность при наименьших вычислительных затратах. Предваряя последующую дискуссию, отметим, что в этом отношении нам более эффективными пред­ ставляются, вообще говоря, аппроксимации высших степеней (хотя фактический оптимум существенно зависит от конкретной задачи).

В первой части этой главы на основе многочленных аппро­ ксимаций предлагается ряд одномерных элементов высших степе­

ней. Устанавливается, что существуют различные способы пост­

рядок аппроксимации. В этом плане обсуждаются так называе­ мые иерархические формы, когда функции высших степеней по­

следовательно получаются с помощью добавления соответствующих слагаемых. Такие формулировки, как правило, оказываются на­ иболее эффективными в вычислительном отношении.

Во второй части главы эти построения используются для по­

лучения дву- и трехмерных многочленных базисных функций высших степеней в случае геометрически простых областей.

в связи с аппроксимацией конечными разностями. Однако он бо­

лее не поднимался в гл. 2 и 3, где были введены методы, осно­

ванные на базисных функциях. Применительно к таким аппрок­ симациям упоминалось только, что сходимость будет иметь место при условии достаточной полноты системы базисных функций, позволяющей им с любой степенью точности аппроксимировать

неизвестную функцию и ее производные, входящие в формули­

ровку задачи. Причина такого упрощения состояла единственно в том, что в этих главах рассматривался широкий спектр систем базисных функций и получение общей оценки скорости сходи­

мости было затруднительным. Если же ограничиться только мно­ гочленными аппроксимациями (хотя бы локально определенными),

то обсуждать вопросы сходимости и полноты будет значительно легче.

Рассмотрим область Q, которая разбивается на конечные эле­ менты Qe с характерным размером А, и предположим, что мно­ жество базисных функций, определенных на каждой элементарной

симо от использованного типа взвешивания.

Обычно решение ф не является в точности многочленом. Однако если решение не имеет особых точек, где некоторые или все его производные обращаются в бесконечность, то ф можно ло­

кально разложить в ряд Тейлора. Например, в случае двух не­

зависимых переменных в окрестности некоторой точки О элемента

точки и точки О. Если теперь используется аппроксимирующий многочлен степени /?, то он точно воспроизводится соответству­ ющим отрезком ряда Тейлора. Тогда внутри элемента размера h

для максимальной погрешности аппроксимации Е имеем

поскольку величины Ах в Ау в точках элемента не превосходят h.

Аналогично аппроксимация первой производной будет иметь

точность О (А*), а приближение производной порядка d будет осу­ ществляться с точностью 0(hP+1~d).

Приведенный выше результат чрезвычайно важен не только для объяснения того факта, почему многочлены высокой степени

дают большую точность приближения, но также и для обоснова­

ния необходимых условий полноты, которые должны выполняться

при использовании любого из методов взвешенных невязок.

Вернемся к общей задаче из гл. 2, где требовалось решить

дифференциальное уравнение вида

что минимальная степень членов в отрезке ряда Тейлора, исполь­

Только что указанное условие полноты подчеркивает полез­

ность обсуждавшейся в § 3.4 слабой формулировки метода взве­

шенных невязок (а именно формулировки с использованием вы­

ражения (3.156)). Понижение порядка d используемых операторов

не только уменьшает требования гладкости, но и снижает мини­ мальную степень многочленных базисных функций, необходимую

для обеспечения полноты, до порядка производных от ф, входя­

щих в слабую формулировку задачи.

4.3. Кусочное тестирование

Проведенное в предыдущем параграфе обсуждение непосредст­

венно ведет к весьма полезному тесту, часто используемому при

практическом применении метода конечных элементов для про­ верки правильности соответствующих формул, возникающих при

составлении конечно-элементных уравнений, или соотношений,

получающихся при реализации этих формул. Если точное реше­

двумерных элементов, которое может быть использовано для ку­ сочного тестирования.

димости на элементе. Например, чтобы гарантировать погрешность О(/г2), необходимо задать в узлах значения линейной функции и

Элементы

he

6

Узлы

Рис. 4.2. Одномерные элементы и ассоциируемые с ними стандартные базисные функции: линейные (о), квадратичные (6) и кубические (в).

4.4.Стандартные базисные функции высших степеней для одномерных элементов с С°-гладкостью

Рассмотрим систему одномерных элементов, изображенную 1>а рис. 4.2. На рис. 4.2, а показан стандартный линейный элемент е с двумя узлами введенного в гл. 2 типа. Здесь предполагается, что два указанных узла занумерованы как 0 и 1 (во избежание

лишних буквенных обозначений). В соответствии с рисунком ас­

социируем с каждым узлом этого элемента простую линейную ба­ зисную функциюВид таких функций на смежных элементах так­ же показан на рисунке. Использование таких базисных функций

гарантирует, что

1) на каждом элементе аппроксимация <р есть линейная фун­ кция от х;